等比数列
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等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列
。
这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为q。
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[编辑] 公式
[编辑] 公比公式
根据等比数列的定义可得：
[编辑] 通项公式
我们可以任意定义一个等比数列
这个等比数列从第一项起分别是
，公比为q，则有：
-
-
-
- a2 = a1q，
- a3 = a2q = a1q2，
- a4 = a3q = a1q3，
，- 以此类推可得，等比数列的通项公式为：
- an = an − 1q = a1qn − 1，
-
-
[编辑] 求和公式
对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。
于是把
称为等比数列的和。记为：
如果该等比数列的公比为q，则有：
-
-
-
（利用等比数列通项公式）*
-
- 先将两边同乘以公比q，有：
-
- 该式减去*式，有：
-
- (q − 1)Sn = a1qn − a1★
-
-
-
- 然后进行一定的讨论
- 当
时，
- 当
- 而当q = 1时，由★式无法解得通项公式。
- 但我们可以发现，此时：
-
-
- = na1
-
- 然后进行一定的讨论
- 综上所述，等比数列的求和公式为：
- 还有另一个求合公式：当q≠1时，
[编辑] 性质
如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：
-
- 证明：当
时，
- 证明：当
- 对于
，若
，则
-
- 证明：
- ∵
- ∴
- ∵
- 证明：
- 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项
，
，
，其中
，则有
- 在原等比数列中，每隔k项
取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。
也成等比数列。
