Теорема на Тейлър

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Теоремата на Тейлър е теорема от математическия анализ. Кръстена е на английския математик Брук Тейлър. Теоремата дава апроксимация на функция в околност на точка чрез многочлен, чиито коефициенти зависят само от производните на функцията в тази точка. Без да дава формално описание на теоремата, астрономът Джеймс Грегъри я използва в трудовете си 14 години по-рано, така че заслугата за откриването и може да бъде дадена на него.

[редактиране] Теоремата за един параметър

Най-простият пример за теоремата е апроксимацията на експоненциалната функция e^x когато х клони към 0. А именно

$\textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.$

Формалното изказване на тази теорема е: Ако n ≥ 0 е цяло число и f е функция n пъти диференцируема в отворения интервал (a, x), тогава

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n$

където R_n е остатъчен член, зависещ от x, който клони към 0, когато x клони към a.

За остатъчния член има няколко формули.

При вида на Лагранж се твърди, че съществува число ξ между a и x, такова че

$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.$

Така се вижда, че теоремата на Тейлър е следствие на теоремата за крайните нараствания (и точно теоремата за крайните нараствания се използва за доказването на Тейлър с остатъчен член във вид на Лагранж)

Друг вид за остатъчния член е видът на Коши

$R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt.$

Тук той е следствие на фундаменталната теорема на анализа.

За някои функции може да се покаже че остатъчният член клони към 0, когато n клони към ∞. Те могат да се изразят с ред на Тейлър в околоност на a и се наричат аналитични функции.

Третият вид за остатъчния член е интегралният вид. За комплексни функции, диференцируеми в окръжност C около a изразът

$R_n(x) = \frac{1}{2 \pi i}\int_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}(z-x)}dz$

важи в C

[редактиране] Теоремата за няколко параметъра

Теоремата на Тейлър може да бъде генерализирана за няколко параметъра по следния начин. Нека Б e многообразие от тип сфера около точка a, в N-мерното пространство, а f е функция с реални стойности, дефинирана в отворената околност $\bar{B}$ и имаща n+1 частни производни във всяка точка. Теоремата твърди, че за всяко $x_i\in B$ ,