Lebesgueův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lebesgueův integrál označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na teorii míry, konkrétně tzv. Lebesgueovy míry.

Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou stejné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí.

Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi.

[editovat] Konstrukce integrálu

Příklad dělení při konstrukci Lebesgueova integrálu.

Při konstrukci Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdělíme obor hodnot (omezené) funkce $f (x)$ na malé intervaly. Už zde je vidět rozdíl oproti Riemannovu integrálu, při jehož konstrukci se dělí definiční obor. Na intervalu $\langle A,B\rangle$ tedy zvolíme body $A=y_0<y_1<y_2< \cdots<y_{n-1}<y_n=B$ , které určují určité dělení tohoto intervalu, které označíme d (viz obrázek). Jako $\mathbf{E}_k$ označíme množinu bodů $x \in \langle a,b\rangle$ , pro které platí $y_{k-1} \leq f(x) < y_k$ . Pro výpočet Lebesgeova integrálu potřebujeme znát Lebesgueovu míru každé množiny $\mathbf{E}_k$ , kterou označíme $\mu(\mathbf{E}_k)$ . Horní integrální součet při daném dělení d pak vyjádříme vztahem

$S(d) = \sum_{k=1}^n y_k \mu(\mathbf{E}_k)$

Dolní integrální součet při stejném dělení d bude mít tvar

$s(d) = \sum_{k=1}^n y_{k-1} \mu(\mathbf{E}_k)$

Pro každou omezenou funkci, která je na intervalu $\langle a,b\rangle$ měřitelná, je infimum množiny horních integrálních součtů, které získáme pro všechna možná dělení d intervalu $\langle A,B\rangle$ , rovno supremu množiny všech dolních integrálních součtů, tzn.

$\inf_d S(d) = \sup_d s(d)$

Společnou hodnotu infima horních a suprema dolních integrálních součtů nazýváme Lebesgueovým integrálem funkce $f (x)$ a zapisujeme $\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x$ , kde $\mathbf{I}=\langle a,b\rangle$ , popř. $\int_a^b f(x)\mathbf{d}x$ . Pro zdůraznění použití míry lze také psát $\int_\mathbf{I} f \mathrm{d}\mu$ . Pokud je nutné odlišit Lebesgueův integrál od integrálu Riemannova, pak Lebesgueův integrál zapisujeme jako $L\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x$ .

Pokud existuje Lebesgueův integrál funkce $f (x)$ , pak o funkci $f (x)$ říkáme, že je integrovatelná v Lebesgueově smyslu. Pokud je funkce $f (x)$ integrovatelná v Riemannově smyslu, je integrovatelná také v Lebesgueově smyslu, přičemž hodnoty obou integrálů (Riemannova a Lebesgueova) jsou si rovny. Opačné tvrzení však neplatí, tzn. funkce integrovatelná v Lebesgueově smyslu nemusí být integrovatelná ve smyslu Riemannově.

Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, neboť integrovat lze na libovolné měřitelné množině. Je možné dokázat, že každá omezená měřitelná funkce je integrovatelná v Lebesgueově smyslu.

Lebesgueův integrál lze rozšířit také na funkce, které nejsou omezené.

Mějme funkci $f (x)$ , která je měřitelná na omezené měřitelné množině $\mathbf{I}$ , přičemž tato funkce může být neomezená. Pokud na $\mathbf{I}$ platí $f(x) \geq 0$ , pak můžeme zvolit libovolné $K > 0$ a definovat novou funkci $f K (x)$ takto

$f_K(x) = f(x) \mbox{ pro } f(x) \leq K$

f K (x) = K pro f (x) > K

Funkce $f K (x)$ je měřitelná, neboť také funkce $f (x)$ je podle předpokladu měřitelná, a navíc je také omezená, takže je integrovatelná v Lebesgueově smyslu. Lebesgueův integrál (neomezené) funkce $f (x)$ pak můžeme definovat vztahem

$\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{K \to \infty} \int_\mathbf{I} f_K(x)\mathrm{d}x$

Pokud limita na pravé straně existuje, označujeme integrál jako konvergentní. Pokud je nevlastní nebo neexistuje, pak říkáme, že integrál je divergentní.

Funkci $f (x)$ můžeme také rozložit na $f (x) = f + (x) - f - (x)$ , kde