Integrale di Lebesgue

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L'integrale può essere interpretato come l'area sotto una curva

In matematica, l'integrale di una funzione può essere visto, nel caso più semplice, come l'area tra il grafico della funzione e l'asse delle x. La prima formalizzazione dell'idea di integrale si ha con il concetto di integrale di Riemann. Non tutte le funzioni sono integrabili nel senso di Riemann, un esempio classico è dato dalla funzione di Dirichlet. La nozione di integrale di Lebesgue estende l'integrale a una classe di funzioni più grande; inoltre estende i domini nei quali queste funzioni possono essere definite. Da molto tempo si è compreso che per funzioni che abbiano un grafico sufficientemente liscio (come nel caso di funzioni continue integrate su un intervallo chiuso e limitato) l'area sotto la curva può essere definita come l'integrale e può essere calcolata utilizzando tecniche di approssimazione della regione con poligoni. Tuttavia, con il crescere della necessità di considerare funzioni sempre più irregolari (ad esempio come risultato di processi al limite nell'analisi matematica e nella teoria matematica della probabilità) è diventato sempre più evidente che era necessaria una maniera più precisa e opportuna per definire gli integrali in questi casi.

L'integrale di Lebesgue ha un ruolo importante nel settore della matematica chiamato analisi matematica e in molti altri campi della matematica.

L'integrale di Lebesgue prende il nome da Henri Lebesgue (1875-1941). Viene pronunciato come Lebeeg (omettendo la s secondo la pronuncia francese).

Indice

1 Introduzione
2 Costruzione dell'integrale di Lebesgue
3 Limitazioni dell'integrale di Riemann
4 Principali teoremi riguardanti l'integrale di Lebesgue
- 4.1 Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale
5 Tecniche di dimostrazione
6 Formulazioni alternative
7 Citazione
8 Voci correlate
9 Riferimenti

[modifica] Introduzione

L'integrale di una funzione f tra i limiti a e b può essere interpretato come l'area sotto il grafico di f. Questo è facile da capire per funzioni familiari come i polinomi, ma quale è il suo senso per funzioni più esotiche? In generale, quale è la classe di funzioni per le quali l'espressione "area sotto la curva" ha senso? La risposta a questa domanda ha grande importanza teorica e pratica.

Come parte della generale tendenza al rigore in matematica del diciannovesimo secolo, erano stati fatti dei tentativi per porre il calcolo integrale su basi solide. L'integrale di Riemann, proprosto da Bernhard Riemann (1826-1866), è un tentativo largamente riuscito di fornire tale fondazione all'integrale. La definizione di Riemann parte con la costruzione di una sequenza di integrali facilmente calcolabili che convergono all'integrale di una data funzione. Questa definizione è di successo nel senso che fornisce la risposta attesa per molti problemi già risolti, e fornisce risultati utili in molti altri problemi.

Tuttavia l'integrazione secondo Riemann non si comporta bene con i limiti di sequenze di funzioni, rendendo questi processi al limite difficili da analizzare. Questi limiti sono di primaria importanza, ad esempio, nello studio delle serie di Fourier, trasformate di Fourier, e in altri campi. L'integrale di Lebesgue è più adatto a descrivere come e quando è possibile eseguire l'operazione di limite sotto il segno di integrale. La definizione di Lebesgue considera una differente classe di integrali facilmente calcolabili rispetto alla definizione di Riemann, e questa è la ragione principale per cui l'integrale di Lebesgue si comporta meglio. La definizione di Lebesgue inoltre rende possibile il calcolo di integrali per una classe di funzioni più estesa. Ad esempio, la funzione di Dirichlet, che vale 0 dove il suo argomento è irrazionale e 1 altrimenti, ha un integrale di Lebesgue, ma non ha un integrale di Riemann.

Nella prossima sezione discutiamo la definizione tecnica dell'integrale di Lebesgue. I lettori possono saltare questa sezione e continuare sulla sezione seguente, "Limitazioni dell'integrale di Riemann".

[modifica] Costruzione dell'integrale di Lebesgue

La discussione che segue si attiene al più comune approccio espositivo dell'integrale di Lebesgue. In questo approccio la teoria dell'integrazione ha due parti distinte:

Una teoria degli insiemi misurabili e misure per questi insiemi.
Una teoria delle funzioni misurabili e integrali su queste funzioni.

[modifica] Teoria della misura

Per approfondire, vedi la voce teoria della misura.

La teoria della misura è stata inizialmente creata per fornire un'analisi dettagliata della nozione di lunghezza dei sottoinsiemi della retta reale e più in generale aree e volumi di sottoinsiemi di spazi euclidei. In particolare, fornisce una risposta generale alla domanda: "quali sottoinsiemi di R hanno una lunghezza?". Come mostrato da sviluppi successivi nella teoria degli insiemi (vedi insieme non misurabile), è effettivamente impossibile assegnare una lunghezza a tutti i sottoinsiemi di R in un modo che preservi determinate proprietà di addittività naturale e di invarianza per traslazioni. Questo suggerisce che scegliere un'appropriata classe di sottoinsiemi misurabili sia un prerequisito esseziale.

Naturalmente, l'integrale di Riemann usa la nozione di lunghezza implicitamente. Infatti, l'elemento di calcolo per l'integrale di Riemann è il rettangolo [a, b] × [c, d], la cui area è calcolata come (b-a)(d-c). La quantità b-a è la lunghezza della base del rettangolo e d-c è l'altezza del rettangolo. Riemann poteva usare solo rettangoli piani per approssimare l'area sotto la curva perché non esisteva una teoria adeguata per misurare insiemi più generali.

Nello sviluppo della teoria in testi più moderni (dopo il 1950), l'approccio alla misura e all'integrazione è assiomatico. Questo significa che una misura è una qualsiasi funzione μ definita su un certo sottoinsieme X di un insieme E che soddisfa una certa lista di proprietà. Si mostra che queste proprietà valgono in molti casi.

La teoria della misura e degli insiemi misurabili (inclusa la definizione e la costruzione di tali misure) è discussa in altri articoli. Vedi misura.

[modifica] Integrazione

Lavoreremo nella seguente struttura astratta: μ è una misura (non negativa) su una sigma-algebra X di sottoinsiemi di E. Per esempio, E può essere un n-spazio euclideo Rⁿ o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, X sarà la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di E, e μ sarà la misura di Lebesgue. Nella teoria matematica delle probabilità μ sarebbe una misura di probabilità su uno spazio di probabilità E.

Nella teoria di Lebesgue, gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione f è misurabile se la preimmagine di ogni intervallo chiuso è in X:

$f^{-1}([a,b]) \in X$

Si mostra che questo è equivalente alla richiesta che la preimmagine di ogni sottoinsieme boreliano di R sia in X. D'ora in poi facciamo questa assunzione. L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, ma ancora più importante la classe è chiusa ripetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni;

$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

sono misurabili se la successione originale {f_k}, dove k ∈ N, è formata da funzioni misurabili.

Costruiamo un integrale

$\int_X f d \mu \quad$

per la funzione misurabile a valori reali f definita su E a stadi:

[modifica] Funzioni indicatrici

Per assegnare all'integrale della funzione indicatrice di un insieme misurabile S un valore consistente con la misura data μ, l'unica scelta ragionevole è porre:

$\int 1_S d \mu = \mu (S)$

[modifica] Funzioni semplici

Estendiamo per linearità alla chiusura lineare delle funzioni indicatrici:

$\int \bigg(\sum a_k 1_{S_k}\bigg) d \mu = \sum a_k \mu( S_k)$

dove la somma è finita e i coefficienti a_k sono numeri reali. Una simile combinazione lineare finita è detta funzione semplice. Si noti che una funzione semplice può essere scritta in diversi modi come combinazione lineare di funzioni caratteristiche, ma l'integrale sarà sempre lo stesso.

[modifica] Funzioni non negative

Sia f una funzione misurabile non negativa su E alla quale permettiamo di avere il valore +∞, in altre parole, f prende valori sulla retta reale estesa. Definiamo

$\int_E f\,d\mu := \sup\left\{\,\int_E s\,d\mu : s\le f,\ s\ \mbox{semplice}\,\right\}$

Dobbiamo mostrare che questo integrale coincide con il precedente, definito sull'insieme delle funzioni semplici. C'è anche il problema di stabilire se corrisponde in qualche modo alla nozione di integrale di Riemann. Non è difficile dimostrare che la risposta ad entrambe le domande è positiva.

Abbiamo definito l'integrale di f per ogni funzione definita su E misurabile, non negativa e a valori sulla retta reale estesa. Per alcune funzioni ∫f può essere infinito.

[modifica] Funzioni con segno

Per gestire le funzioni con segno, abbiamo bisogno di alcune definizioni. Se f è una funzione dall'insieme misurabile E ai reali (inclusi ± ∞), allora possiamo scrivere

$f = f^+ - f^-, \quad$

dove

$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

Si noti che sia f⁺ che f⁻ sono funzioni non negative. Si noti anche che

$|f| = f^+ + f^-. \quad$

$\int |f| d \mu < \infty,$

allora f è detta Lebesgue-integrabile. In questo caso, entrambi gli integrali soddisfano

$\int f^+ d \mu < \infty, \quad \int f^- d \mu < \infty,$

e ha senso definire

$\int f d \mu = \int f^+ d \mu - \int f^- d \mu$

Si scopre che questa definizione fornisce le proprietà desiderabili per un integrale. Le funzioni a valori complessi possono essere integrate in maniera simile, considerando la parte reale e la parte immaginaria separatamente.

[modifica] Interpretazione intuitiva

Per avere una certa intuizione sui differenti approcci all'integrazione, immaginiamo che si voglia trovare il volume di una montagna (sopra il livello del mare) e che i confini della montagna siano delimitati chiaramente (sono i limiti di integrazione).

L'approccio di Riemann-Darboux : Taglia la montagna in fette verticali, ciascuna con una base quadrata al livello del mare. Prendi un paio di punti interni a questo quadrato, uno dove l'altezza è massima e uno dove l'altezza è minima. Associate a queste due altezze ci sono un volume superiore e un volume inferiore, ottenuti moltiplicando le altezze per l'area del quadrato. La somma superiore di Riemann è la somma dei volumi superiori di tutte le fette, e analogamente si ottiene la somma inferiore di Riemann. L'integrale di Riemann esiste se le somme superiori e inferiori convergono quando lo spessore delle fette decresce a 0.

L'approccio di Lebesgue: Disegna una carta a curve di livello della montagna. Per la curva di livello (o insieme di curve) di altezza minore, trova l'area totale racchiusa (nella mappa) da esse. Moltiplica questa misura per l'altezza rappresentata dall'insieme delle curve di livello: il prodotto sarà un addendo della "somma di Lebesgue".

Quindi trova una curva di livello, o un insieme di curve, che si trovano un gradino più in su in altezza (cioè all'altezza più bassa fra le curve di livello rimanenti). Calcola la misura dell'area racchiusa da esse. Moltiplica la misura per la differenza in altezza (rispetto al passo precedente), e il prodotto sarà un altro addendo della "somma di Lebesgue".

Ripeti questo processo per livelli successivi di curve sempre più alte, finché l'insieme di curve di livello più alto è stato elaborato. La somma risultante è la chiusura lineare, in cui ogni curva di livello corrisponde a una funzione indicatrice.

La somma può essere raffinata aggiungendo curve di livello intermedio alla mappa, dimezzando la differenza fra altezze successive e poi ricalcolando la somma. L'integrale di Lebesgue è il limite di questo processo.

[modifica] Esempi

Si consideri la funzione indicatrice dei numeri razionali, 1_Q. È noto che 1_Q è mai continua.

1_Q non è Riemann-integrabile su [0,1]: Non importa in che modo l'insieme [0,1] è partizionato in sottointervalli, ogni partizione conterrà almeno un numero razionale e almeno un numero irrazionale, dato che sia i razionali che gli irrazionali sono densi nei reali. Quindi la somma superiore di Darboux sarà sempre uno, e la somma inferiore di Darboux sarà sempre zero.

1_Q è Lebesgue-integrabile su [0,1]: Infatti è la funzione indicatrice dei razionali e quindi per definizione

$\int_{[0,1]} 1_{\mathbf{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbf{Q} \cap [0,1]) = 0,$

poiché Q è numerabile.

[modifica] Limitazioni dell'integrale di Riemann

Qui discutiamo le limitazioni dell'integrale di Riemann e la più ampia libertà d'azione offerta dall'integrale di Lebesgue. Presupponiamo una buona comprensione dell'integrale di Riemann.

Con l'avvento delle serie di Fourier, si incontrarono molti problemi analitici coinvolgenti integrali, la cui soluzione soddisfacente richiedeva di scambiare somme infinite di funzioni e segni di integrale. Tuttavia, le condizioni per le quali gli integrali

$\sum_k \int f_k(x) dx, \quad \int \bigg[\sum_k f_k(x) \bigg] dx$

sono uguali si sono dimostrate abbastanza elusive nella struttura di Riemann. Ci sono altre difficoltà tecniche con l'integrale di Riemann, e sono collegate con la difficoltà di passaggio al limite discussa prima.

Assenza della convergenza monotona . Come mostrato sopra, la funzione indicatrice 1_Q sui razionali non è Riemann-integrabile. In particolare, fallisce il teorema della convergenza monotona. Per veder perché, sia {a_k} una enumerazione di tutti i numeri razionali in [0,1] (sono numerabili e quindi è possibile.) Allora sia

$g_k(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se } x = a_k \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix} \right.$

Poi sia

$f_k = g_1 + g_2+ \ldots + g_k. \quad$

La funzione f_k è zero ovunque eccetto un numero finito di punti, quindi il suo integrale di Riemann è zero. La successione f_k è inoltre chiaramente non negativa e monotona crescente verso 1_Q, che è non integrabile secondo Riemann.

Inadeguatezza degli intervalli non limitati. L'integrale di Riemann può integrare solo funzioni su un intervallo limitato. L'estensione più semplice è definire

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{+a} f(x) dx$

ogni volta che il limite esiste. Tuttavia questo rompe la proprietà desiderabile dell'invarianza per traslazioni: se f e g sono zero al di fuori di un certo intervallo [a, b] e sono Riemann-integrabili, e se f(x) = g(x + y) per qualche y, allora ∫ f = ∫ g. Con questa definizione di integrale improprio (questa definizione è spesso detta valore principale di Cauchy improprio sullo zero), le funzioni f(x) = (1 se x > 0, −1 altrimenti) e g(x) = (1 se x > 1, −1 altrimenti) sono traslazioni l'una dell'altra, ma i loro integrali impropri sono differenti.

$\int f(x) dx = 0, \quad \int g(x) dx= -2 . \quad$

Inadeguatezza per una definizione assiomatica di probabilità. In teoria della probabilità un assioma di cui non si può fare a meno è: un'unione numerabile di eventi deve essere un evento.

Se si prova a definire la probabilità di un sottoinsieme $\ E$ dell'intervallo $\ [0,1]$ come l'integrale di Riemann della funzione caratteristica dell'insieme $\ E$ ( $\ f(x)=1$ per $\ x\in E$ e 0 altrove), si ha che ogni numero razionale compreso tra 0 e 1 ha probabilità nulla, ma la loro unione non è un evento in quanto non è un insieme integrabile secondo Riemann e quindi non è possibile assegnargli una probabilità.

Con l'integrale di Lebesgue questo problema non si presenta ed è possibile dare una nozione assiomatica di probabilità perfettamente coerente.

[modifica] Principali teoremi riguardanti l'integrale di Lebesgue

L'integrale di Lebesgue non discrimina fra funzioni che differiscono solo per un insieme di μ-misura zero. In termini più precisi, le funzioni f, g sono dette uguali quasi ovunque (o uguali q.o.) sse

$\mu(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0$

Se f, g sono funzioni non negative (che eventualmente assumono il valore +∞) tali che f = g quasi ovunque, allora

$\int f d \mu = \int g d \mu.$

Se f, g sono funzioni tali che f = g quasi ovunque, allora f è integrabile sse g è integrabile e gli integrali di f e g sono gli stessi.

L'integrale di Lebesgue ha le proprietà seguenti:

Linearità: Se f e g sono funzioni integrabili e a e b sono numeri reali, allora af + bg è integrabile e

$\int (a f + bg) d \mu = a \int f d\mu + b \int g d\mu$

Monotonicità: Se f ≤ g, allora

$\int f d \mu \leq \int g d \mu.$

[modifica] Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Teorema della convergenza monotona: Supponiamo che {f_k}_{k ∈ N} sia una successione di funzioni misurabili non negative tali che

$f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \forall x \in E.$

Allora

$\lim_k \int f_k d \mu = \int \lim_k f_k d \mu. = \int \sup_k f_k d \mu.$

Nota: Il valore di ogni integrale può essere infinito.

Lemma di Fatou: Se {f_k}_{k ∈ N} è una successione di funzioni misurabili non negative e se f = liminf f_k, allora

$\int \liminf_k f_k d \mu \leq \liminf_k \int f_k d \mu.$

Ancora, il valore di ogni integrale può essere infinito.

Teorema della convergenza dominata: Se {f_k}_{k ∈ N} è una successione di funzioni misurabili con limite puntuale f, e se esiste una funzione integrabile g tale che |f_k| ≤ g per ogni k, allora f è integrabile e

$\lim_k \int f_k d \mu = \int f d \mu.$

[modifica] Tecniche di dimostrazione

Per illustrare alcune delle tecniche di dimostrazione usate nella teoria dell'integrazione di Lebesgue, abbozziamo una dimostrazione del suddetto teorema di convergenza monotona di Lebesgue:

Sia {f_k}_{k ∈ N} una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e poniamo

$f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

Per la proprietà di monotonicità dell'integrale, è immediato vedere che:

$\int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu$

Ora proviamo la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè

$\int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu.$

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente g_n di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a f quasi ovunque e tali che

$\lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu.$

Perciò basta provare che per ogni k ∈ N,

$\int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu.$

Ora mostriamo che g è una funzione semplice e

$\lim_j f_j(x) \geq g(x)$

quasi ovunque, quindi

$\lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu.$

Spezzando la funzione g nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui g è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che dobbiamo provare è allora:

Supponiamo che A sia un insieme misurabile e {f_k}_{k ∈ N} sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su E tali che

$\lim_n f_n (x) \geq 1$

per quasi tutti gli x ∈ A. Allora

$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A).$

Per provare questo risultato, fissiamo ε > 0 e definiamo la successione di insiemi misurabili

$B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}.$

Per la monotonicità dell'integrale, segue che per ogni n ∈ N,

$\mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu$

Per ipotesi,

$\bigcup_i B_i = A,$

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di μ

$\mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d \mu.$

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue il risultato.

[modifica] Formulazioni alternative

Se f è non negativa, allora ∫f dμ è precisamente l'area sotto la curva misurata secondo la misura prodotto μ × λ dove λ è la misura di Lebesgue per R.

Si può aggirare completamente la teoria della misura. L'integrale di Riemann esiste per ogni funzione continua f di supporto compatto. Allora usiamo l'analisi funzionale per ottenere l'integrale per funzioni più generali. Sia C_c lo spazio di tutte le funzioni di R a valori reali su supporto compatto. Definiamo una norma su C_c con

$\|f\| = \int |f(x)| dx$

Allora C_c è uno spazio vettoriale normato (e in particolare, è uno spazio metrico). Tutti gli spazi metrici hanno completamento, così sia L¹ il suo completamento. Questo spazio è isomorfo allo spazio delle funzioni Lebesgue-integrabili (a meno di insiemi di misura zero). Inoltre, l'integrale di Riemann ∫ definisce un funzionale continuo su C_c denso in L¹, perciò ∫ ha un'unica estensione su tutto L¹. Questo integrale è precisamente l'integrale di Lebesgue.

Il problema con questo approccio è che le funzioni integrali sono rappresentate come elementi di un completamento definito astrattamente e mostrare come questi elementi definiti astrattamente sono rappresentati da funzioni è non banale. In particolare, la relazione fra limiti puntuali di successioni di funzioni e l'integrale è difficile da provare.

Un'altro approccio è offerto dall'integrale di Daniell o dalla variante di Bourbaki di quest'ultimo, spesso menzionata come approccio all'integrazione mediante la misura di Radon.

[modifica] Citazione

"Qualcuno crede che la differenza fra l'integrale di Lebesgue e l'integrale di Riemann può avere significato fisico, e comunque se ne dica, che un aereo possa volare o no potrebbe dipendere da questa differenza? Se si sostenesse questo, non avrei problemi a volare in quell'aereo." Richard Hamming

[modifica] Voci correlate

[modifica] Riferimenti

(EN) R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Wadsworth & Brookes/Cole, 1989. Trattazione molto accurata, specialmente per i probabilisti, con buone note e riferimenti storici.
(EN) P. R. Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand Company, Inc. 1950. Una esposizione classica, benché talvolta datata.
(EN) L. H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Company, Inc. 1953. Include una presentazione dell'integrale di Daniell.
(FR) H. Lebesgue, Oeuvres Scientifiques, L'Enseignement Mathématique, 1972
(EN) M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953. Buona trattazione della teoria delle misure esterne.
(EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis Third edition, McGraw Hill, 1976. Noto come Little Rudin, contiene le basi della teoria di Lebesgue, ma non tratta materiale come il teorema di Fubini.
(EN) W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill, 1966. Noto come Big Rudin. Una esposizione completa e curata della teoria. Buona esposizione dei teoremi di estensione di Riesz. Tuttavia c'è un piccolo difetto (nella prima edizione) nella dimostrazione di uno dei teoremi di estensione. La scoperta di questo costituisce l'esercizio 21 del capitolo 2.