Skalární součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skalární součin je zobrazení $V^2 \to T$ , kde V je vektorový prostor nad tělesem T. V obvyklém euklidovském prostoru $\mathbb{R}^3$ je to funkce, která kombinuje dva vektory do jednoho reálného čísla.

Lze pomocí něj například ověřovat kolmost – jsou-li dva vektory kolmé, je jejich skalární součin nulový (tak je kolmost dokonce definována).

[editovat] Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu dvou vektorů $\mathbf{u},\mathbf{v}$ jsou:

$(\mathbf{u},\mathbf{v})$
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$
$b(\mathbf{u},\mathbf{v})$ - b jako bilineární forma
$\langle \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \rangle$ - při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

[editovat] Definice

Zobrazení $b:V^2 \to T$ je skalárním součinem, platí-li pro všechna $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ a pro všechna $a \in T$ následující vztahy

$\exist a \in T, a = (\mathbf{u}, \mathbf{v})$ (je zobrazením $V 2$ do $T$ )
$(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v}, \mathbf{u})}$
$(\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}) = (\mathbf{u}, \mathbf{w}) + (\mathbf{v}, \mathbf{w})$
$(a \cdot \mathbf{u}, \mathbf{v}) = a \cdot (\mathbf{u},\mathbf{v})$
$(\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0,~ (\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$

Pruhem je označeno komplexní sdružení.

[editovat] Vlastnosti

v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn. bude platit

$(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}, \mathbf{u})$

pro komplexní a platí

$(\mathbf{u}, a \cdot \mathbf{v}) = \overline a \cdot (\mathbf{u},\mathbf{v})$

v obecném případ je

$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) \ne (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$

vektory $\mathbf{u},\mathbf{v}$ nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

$(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0$

jestliže množina $\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_n\}$ vyhovuje vztahu

$(\mathbf{x}_j,\mathbf{x}_k) = \delta_{jk}$ ,

kde $δ j k$ je Kroneckerův symbol, pak tyto vektory označujeme jako ortonormované.

skalární součin lze využít k určení normy vektoru
z geometrického hlediska (tedy v euklidovském prostoru) představuje skalární součin vektorů $\mathbf{u},\mathbf{v}$ součin velikosti vektoru $\mathbf{u}$ a velikosti průmětu vektoru $\mathbf{v}$ do směru vektoru $\mathbf{u}$ , tzn.

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \cdot \cos \alpha$ ,

kde $α$ je úhel, který svírají vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ .

Geometrická interpretace skalárního součinu.

[editovat] Příklady skalárních součinů

pro dva vektory $\mathbf{u}=(u_1, u_2, \dots, u_n), \mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ zapsané v nějaké konečné ortogonální bázi lze skalární součin definovat jako