Rolleova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu existuje derivace a nechť . Pak existuje bod c v otevřeném intervalu , pro nějž platí

.

[editovat] Důkaz

• Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace a věta je dokázána.
• Nechť funkce f není konstantní. Jelikož a funkce není konstatní, musí existovat takové, že nebo .

Předpokládejme, že . Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje takové, že , tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, . Analogicky pro minimum.

[editovat] Podívejte se také na

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
• Lagrangeova věta
• Cauchyova věta

Soubor:Matematika - matematický pahýl (antialiasing).png

Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.