Teorema de Rolle
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A fórmula de Taylor de aproximação, também chamada de série de Taylor, é considerada mais abrangente que o teorema do valor médio, o qual é uma generalização do teorema de Rolle.
O teorema de Rolle é facilmente enunciado:
Dada uma função F(x) que apresenta as seguintes características:
1) É função derivável no intervalo (a,b)
2) É contínua no intervalo [a,b]
3) F(a)= F(b)=0
-> Existirá, então, pelo menos um número c no intervalo (a,b); no qual F'(c) = 0
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[editar] Interpretação geométrica/Noção intuitiva
Considerando a hipótese (proposta pelo teorema) como verdadeira, tem-se que há uma reta horizontal tangente à curva de F(x) no ponto (c, F(c)); com c entre a e b; como mostra a figura.
[editar] Demonstrações:
Alguns métodos de demonstrações puramente matemáticas (sem intuição: partindo apenas da hipótese e de outros teoremas, já conhecidos) são utilizados para provar o teorema de Rolle. Será apresentado o mais simples:
[editar] Demonstração utilizando o TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Aplicando o teorema do valor médio, chega-se ao teorema de Rolle, em poucas linhas .
Novamente, considerando a hípótese verdadeira, tem-se, de acordo com o teorema do valor médio:
Existe pelo menos um c, entre a e b, tal que:
F'(c) = [F(b)-F(a)]/(b-a)
F'(c) = [F(b) − F(a)] / (b − a),F(b) = 0,F(a) = 0;logo
F'(c) = (0 − 0) / (b − a) = 0
Sendo F'(c) a derivada da função F(x) em c.
[editar] Outras demonstrações:
Comumente, nos livros de cálculo, é utilizado o teorema de Rolle para provar o teorema do Valor médio (ao contrário do que foi, aqui, exposto). Geralmente na demonstração do Teorema de Rolle é utilizado o teorema do valor extremo, tratando o caso de f(x) ser constante separadamente do caso de F(x) ser uma função qualquer. Para mais detalhes das demonstrações e aplicações vá para: [[1]]Wikibooks
[editar] Ver Também
Teorema do valor extremo
[[2]]Wikilivro de Matemática
