Rollen lause
Wikipedia
Rollen lause on erikoistapaus Cauchyn väliarvolauseesta. Sen mukaan suljetulla välillä [a, b] jatkuvan ja avoimella välillä ]a, b[ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon 0 jossain pisteessä avoimen välin ]a,b[ pisteessä c mikäli funktio saa välin [a, b] päätepisteissä a ja b saman arvon. Formaalisti:
![f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c\in ]a,b[ : f'(c) = 0](../../../math/5/2/f/52fbd602577c5776cf230d01232396da.png)
Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.
Rollen lausetta käytetään todistamaan Cauchyn väliarvolause.
[muokkaa] Todistus
Koska oletuksen mukaisesti f on jatkuva välillä [a, b], se saa Weierstrassin lauseen mukaan suurimman ja pienimmän arvon tällä välillä. Jos nämä molemmat saavutetaan välin päätepisteissä a ja b, kyseessä on vakiofunktio ja f ' (x) = 0 jokaisessa välin pisteessä.
Oletetaan sitten, että maksimi saavutetaan välin ]a, b[ pisteessä x. Osoitetaan, että f ' (x) = 0. Käsittelemme erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.
(1) Jos y < x, erotusosamäärälle pätee
sillä osoittaja on positiivinen, onhan f(x) suurin arvo; samoin nimittäjä koska x - y > 0. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee
Tämä siksi, että f on derivoituva: sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.
(2) Jos y > x, on
sillä osoittaja on positiivinen, onhan f(x) suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen. Siten
Koska f on derivoituva pisteessä x, ovat vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot yhtä suuret. Tämä toteutuu vain, kun kummatkin raja-arvot ovat nollia. Siis
□
