Twierdzenie Rolle'a
Z Wikipedii
Twierdzenie Rolle'a – jedno z podstawowych twierdzeń klasycznej analizy matematycznej, charakteryzujące zachowanie się funkcji różniczkowalnej.
[edytuj] Twierdzenie
Jeśli dana funkcja ![f: \mathbb [a,b] \to \mathbb R](../../../math/7/5/4/754f8e3ad645725cfbaa6ea0b0132de0.png)
jest:
- ciągła w przedziale [a,b]
- jest różniczkowalna w przedziale (a,b)
- na końcach przedziału [a,b] przyjmuje równe wartości: f(a) = f(b),
to w przedziale (a,b) istnieje co najmniej jeden punkt c taki, że f'(c) = 0.
Twierdzenie to opublikował francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.
[edytuj] Dowód
Jeżeli f = const, to 
. Jeżeli 
wówczas
.
Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu istnieje wartość funkcji większa od f(a) = f(b). Twierdzenie Weierstrassa mówi, że jeżeli funkcja jest ciągła i określona na przedziale zwartym [a,b], to przyjmuje wartość największą, tzn.
![\exists_{x_{max}\in [a,b]}\;f(x_{max})=\sup_{x \in [a,b]} f(x)](../../../math/1/7/f/17f535678df55df42ce5f1304521388f.png)
.
Jednak założyliśmy, że istnieje wartość większa od f(a) = f(b), a zatem 
, a więc 
. Ponieważ w xmax funkcja f ma ekstremum globalne, pochodna w tym punkcie musi być równa zeru. A więc kładąc c: = xmax otrzymujemy tezę 
.
Analogicznie rozumujemy w drugim przypadku (tyle, że dla wartości najmniejszej).
