Rolle tétele

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikai analízisben Rolle tétele vagy a Rolle-féle középértéktétel az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” értintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

[szerkesztés] A tétel

Ábra Rolle tételéhez

Ha az $f$ függvény folytonos az $[a, b]$ intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

f (a) = f (b)

akkor van olyan $a < c < b$ szám, hogy

f

(c) = 0

teljesül.

[szerkesztés] Bizonyítása

Ha az $f$ függvény az $(a, b)$ intervallumon végig az $f (a) = f (b)$ értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.

Tegyük fel, hogy egy pontban $f$ értéke ettől eltér, mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb $f (a) = f (b)$ -nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a $- f$ függvényre kell alkalmaznunk). Weierstrass tétele szerint a függvény az $[a, b]$ intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen $c$ egy ilyen pont. $c$ nem lehet $a$ -val vagy $b$ -vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond $f (c)$ maximális tulajdonságának. Mivel $f$ a $c$ -ben (mely az értelemezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0. ■

[szerkesztés] Általánosításai

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.

Tétel – Az f : $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξ ∈ $I$ pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim_α f és lim_β f határérték és lim_α f = lim_β f , ahol α és β a $I$ két végpontja.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int( $I$ ) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int( $I$ )-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( $I$ )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int( $I$ )-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int( $I$ ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim_α f = lim_β f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. ■

Ilyen például az

$x\mapsto e^{-x^2}$

függvény.

Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.

Tétel – Ha az f : [a,b] $\rightarrow$ R korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int( $I$ ) pont, hogy f '( ξ ) = 0.