Russellova antinomie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Russelův paradox (též Russellova antinomie) je paradox, objevený v roce 1901 Bertrandem Russellem, který ukazuje, že Cantorova intuitivní teorie množin (naivní teorie množin) je vnitřně sporná.

Obsah

1 Princip paradoxu
2 Varianty
- 2.1 Paradox holiče
- 2.2 Seznamy na Wikipedii
3 Řešení paradoxu
4 Podívejte se také na

[editovat] Princip paradoxu

Označme S množinu všech množin, které nejsou svým vlastním prvkem (tj. množin, které neobsahují samy sebe).

$S = \{ X | X \notin X \}$

Tato množina je v Cantorově systému dobře definovaná, tzn. nyní by mělo být pro libovolnou množinu M možno rozhodnout, zda tato množina M je, či není prvkem množiny S. Toto však nelze rozhodnout v případě samotné množiny S. Obě možnosti totiž vedou ke sporu s její definicí. (Pokud S není svým vlastním prvkem, měla by podle definice do S patřit; pokud však S je svým vlastním prvkem, pak by podle definice do S patřit neměla.)

[editovat] Varianty

Tato antinomie má řadu populárních variant, které ji používají v různých snadněji představitelných kontextech.

[editovat] Paradox holiče

V malém městě je jediný holič, který holí všechny muže ve městě, kteří se neholí sami. Takové město ovšem nemůže existovat, neboť zde opět dochází ke sporu: Holí holič sám sebe? Sám sebe má holit právě tehdy, když sám sebe holit nebude.

[editovat] Seznamy na Wikipedii

Paradox lze aplikovat i na Wikipedii: Na Wikipedii existuje článek Seznam seznamů, obsahující seznam všech článků, které jsou seznamy. Pokud by ovšem existoval článek nazvaný Seznam všech seznamů, které se neobsahují, musí být buď neúplný (pokud neobsahuje sám sebe), nebo chybný (pokud sám sebe obsahuje).

Tyto vysvětlující varianty Russelova paradoxu mají oproti jeho exaktní množinové verzi jistou výhodu: paradoxu je možno se vyhnout tím, že se daný jev odmítne. U paradoxu holiče se prohlásí, že takový holič (či město) prostě nemůže existovat, na Wikipedii žádný takový článek také neexistuje atd. Význam Russelova paradoxu spočívá v tom, že v matematice nelze odmítnout existenci nějaké množiny, která plně vyhovuje definici, jen proto, že vede ke sporným závěrům. Odmítnutí existence takové množiny totiž znamená, že sama příslušná definice množiny je nevyhovující.

[editovat] Řešení paradoxu

Po předložení tohoto paradoxu byla intuitivní teorie množin přetvořena na axiomatickou teorii množin, přičemž byly axiomy formulovány tak, aby se tomuto a podobným problémům předešlo. Sám Russell, spolu s Alfredem Whiteheadem vytvořili ve své knize Principia Mathematica komplikovaný systém typů, který se známým paradoxům vyhýbal, ale nebyl šířeji přijat. Dnes se nejčastěji používá Zermelo-Fraenkelova teorie množin, která se Russelovu paradoxu vyhýbá tak, že její axiomy neumožňují sestrojení množiny S; S v této teorii není množina, ale vlastní třída.

Existují i další teorie, které poskytují řešení Russelova paradoxu, např. tzv. New Foundations amerického matematika van Quina.