הפרדוקס של ראסל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הפרדוקס של ראסל הוא פרדוקס שהציע הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל בשנת 1901, במכתב ששלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה. לפרדוקס הייתה השפעה מכרעת על התפתחותה של תורת הקבוצות והמתמטיקה בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום תורת הקבוצות הנאיבית, מביאה לסתירה, וויתר על השלמת הספר.

מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת שקבוצה מוגדרת על-פי האיברים השייכים לה. ראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האיברים השייכים לה. כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר שקבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת, (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.

ראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות, X, ושאל:

האם X היא קבוצה קטנה או גדולה?

אם X היא קבוצה קטנה, אז לפי ההגדרה היא איננה איבר של עצמה, כלומר איננה איבר של X - אבל X כוללת את כל הקבוצות הקטנות, ולכן X גדולה. מצד שני, אם X גדולה, הרי שכקבוצה גדולה היא חייבת לכלול את עצמה; אבל כאיבר של X היא מוכרחה להיות קבוצה קטנה. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במלים אחרות, הנחות היסוד שלפיהן X היא קבוצה, מראות שהמושג 'קבוצה גדולה' מכיל סתירה מובנית, אנטינומיה.

הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בניה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלו אוספים יכולים להחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת הטיפוסים.

בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא תורת הקבוצות האקסיומטית שפיתחו צרמלו ופרנקל. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא אקסיומת ההפרדה, המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על-ידי ליקוט איברים של קבוצה קיימת. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל מוכיח ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת. לפי תורת הקבוצות האקסיומטית, כל הקבוצות הן קטנות.

רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של משפט שהוכיח קנטור. לפרטים, ראו עוצמה.