Paradoja de Russell
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La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
Supongamos un conjunto que consta de conceptos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito, es el conjunto que consta de "ideas abstractas" es miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto no es un libro. En su paradoja, Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. Si forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que sí forman parte de sí mismos.
Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M a "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Entonces, M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.
Un desarrollo más formal se presenta en Teoría Intuitiva de Conjuntos.
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero
- «el barbero de esta ciudad, que afeita sólo a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?»
[editar] Explicación de la paradoja
Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc... y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.
La característica principal de un conjunto normal es que no se contienen a sí mismos.
Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M.
Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo.
Esto último no es difícil, si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros.
Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.
Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio. O se contiene a sí mismo o no se contiene.
Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?
Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal.
Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C entonces es normal.
Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.
Otra explicación es que los universos a los que se refieren los conjuntos son distintos. Por ejemplo, supongamos que tenemos el elemento León que pertenece al conjunto de Animales y que, a su vez, el conjunto Animales sea subconjunto de las palabras que tienen 8 letras. Pues bien, si aplicamos la lógica aristotélica, nos dice que León es un elemento del conjunto de las palabras que tienen 8 letras, lo cual es claramente una contradicción. El problema viene porque inicialmente Animales se refería al conjunto de todos los elementos pertenecientes al reino Animal, y en el segundo, Animales se refería a sí mismo como a una palabra formada por 8 letras, lo cual es claramente distinto al primero.
