러셀의 역설

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러셀의 역설(Russell's paradox)은 수학자 버트런드 러셀이 1901년 발견한 논리적 역설로 프레게의 논리체계와 칸토어의 소박한 집합론(naive set theory)이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예이다.

그 대략적인 내용은 다음과 같다.

M이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 M의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다.

칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에도 역시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "M은 M의 원소이다"라는 명제와 "M은 M의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.

프레게의 공리체계에서 M은 "자신을 정의하는 개념에 포함되지 않는다(not fall under its defining concept)"라는 개념(concept)에 해당한다. 따라서, 프레게의 체계 역시 모순을 낳는다.

[편집] 역사

러셀이 정확히 언제 이 역설을 발견했는지는 확실하지 않지만, 아마도 1901년 5월이나 6월경 특정 영역의 개체의 수는 그 개체의 하등계급 수보다 작다는 칸토어의 법칙에 대한 연구를 하다가 발견한 것으로 보인다.

[편집] 역설의 이해하기 쉬운 해석

논리학을 전문적으로 공부하지 않은 일반인들도 이해하기 쉽게 러셀 자신이 그의 역설을 예로 설명한 것이 이발사이야기이다.

만약 어떤 마을에 스스로 이발을 하지 않는 모든 이의 이발를 해주는 이발사가 있다고 하자. 이 이발사는 이발을 스스로 해야 할까? 만약 스스로 이발을 하지 않는다면, 그 전제에 의해 자신이 자신을 이발시켜야 하고, 역으로 스스로 이발을 한다면, 자신이 자신을 이발시켜서는 안된다. 이는 바로 러셀의 역설과 동일한 문제에 걸리는 것이다.

위키백과에 "자기 자신을 포함하지 않는 모든 목록만의 목록"이란 항목이 있을 수 있을까? 러셀의 역설에 의해 이는 모순이다. 만약 자기 자신을 포함하지 않는다면 미완성이며 포함한다면 틀린 제목이 된다.