Fermatprimtal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Svært stof
Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

Et Fermatprimtal (opkaldt efter Pierre de Fermat) er et primtal af formen $2^{2^m}+1$ .

Man kan let indse at hvis et tal af typen 2^k+1 skal være et primtal, så må k selv være en potens af 2, altså k=2^m. Thi hvis k havde en ulige divisor d forskellig fra 1, så ville 2^k+1 være et sammensat tal fordi det var deleligt med 2^k/d+1. Bemærk at hvis k er et ulige primtal så er 2^k+1 deleligt med 2^k/k+1 = 3.

Fermat bemærkede at $2^{2^m}+1$ var et primtal for m lig med 0, 1, 2, 3 og 4. Han påstod derfor at det samme gjaldt for alle værdier af m. Men i 1732 viste Euler at det ikke er tilfældet: Med m=5 får vi at 2³²+1 er deleligt med 641. Med m=6 får vi 2⁶⁴+1; at dette tal er sammensat, eftervistes i 1854 af den danske matematiker Thomas Clausen.

Til dato er der ikke fundet flere værdier af m der gør $2^{2^m}+1$ til et primtal, og det forekommer usandsynligt at der skulle eksistere nogen. I skrivende stund kendes der 227 specifikke værdier af m for hvilke det vides med sikkerhed at $2^{2^m}+1$ er sammensat. Den mindste værdi af m for hvilken man ikke kender statussen af $2^{2^m}+1$ , er m=33.

[redigér] Konstruerbare regulære polygoner

Lad n være et ulige tal. Gauss beviste at den regulære n-kant kan konstrueres med passer og lineal (efter samme regler som er beskrevet under konstruerbare tal) hvis og kun hvis n er et Fermatprimtal eller et produkt af (parvis forskellige) Fermatprimtal. I så fald kan også (2^j·n)-kanten konstrueres (for alle j>0) da det er let at halvere en vinkel.

Man kan således konstruere en regulær 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10-, 12-, 15-, 16-kant (osv.), men derimod ikke en regulær 7-, 9-, 11-, 13-, 14-kant.

[redigér] Generalisation

Man taler også om generaliserede Fermatprimtal. Det simpleste eksempel er tal af formen $b^{2^m}+1$ hvor b er et lige tal der ikke behøver at være 2. Man bør se bort fra de tilfælde hvor b er et potenstal da det så er mere naturligt at bruge grundtallet i denne potens.