Legeme (algebra)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Indholdsfortegnelse

1 Introduktion
2 Aksiomerne
3 Se også

[redigér] Introduktion

Et legeme er i abstrakt algebra en kommutativ ring, der opfylder 6 bestemte aksiomer.

Ud fra disse 6 aksiomer kan man udlede alle de normale regneregler, såsom at man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte eller (x + y)² = x² + 2xy + y²

I et legeme er der kun fastsat 2 regneoperatorer, plus og gange. Alle de andre kan uddrives af disse.

[redigér] Aksiomerne

Vi antager at vi har et legeme M.
M skal så opfylde følgende aksiomer:

[redigér] Aksiom 1: Stabilitet

M er stabil overfor addition og multiplikation.

Dette vil sige, at for et hvilket som helst element i M, kan det adderes eller multipliceres med et andet hvilket som helst element i M, og dette produkt vil eksistere i M:

∀x,y ∈ M: x + y ∈ M

∀x,y ∈ M: x × y ∈ M

[redigér] Aksiom 2: Kommutativitet

Addition og multiplikation er kommutative operatorer.

Dette vil sige, at faktorernes rækkefølge er ligegyldig.

∀x,y ∈ M: x + y = y + x

∀x,y ∈ M: x × y = y × x

[redigér] Aksiom 3: Associativitet

Addition og multiplikation er associative operatorer.

Dette vil sige, at man kan definere en hvilken som helst sammenhæng mellem 3 eller flere tal bundet sammen af enten plus eller gange, uden at dette vil ændre resultatet.

∀x,y,z ∈ M: (x + y) + z = x + (y + z)

∀x,y,z ∈ M: (x × y) × z = x × (y × z)

[redigér] Aksiom 4: Distributivitet

Multiplikation er distributiv i forhold til addition.

Dette vil sige, at man kan "gange ind i parenteser" og vice versa.

∀x,y,z ∈ M: x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

[redigér] Aksiom 5: Nulelement og ételement

M indeholder et nulelement n, som er neutralt overfor addition, og et ételement e, som er neutralt overfor multiplikation. Disse skal være forskellige.

Dette vil sige, at 0 og 1 skal eksistere i M. Dog siger vi ikke, at der kun må være et af hvert. Dette er implicit i aksiomet. Dette vil vi bevise senere.

∀x ∈ M: x + n = x

∀x ∈ M: x × e = x e ≠ n

[redigér] Aksiom 6: Modsatte og reciprokke tal

Ethvert element i M har et modsat element i M, og ethvert element i M, som ikke er et nulelement, har et reciprokt element i M.

∀x ∈ M ∃y ∈ M: x + y = n

∀x ∈ M \ {0} ∃y ∈ M: x × y = e

[redigér] Udledninger

Man kan blandt andet, som tidligere nævnt, udlede at der kun kan eksistere ét nulelement og ét ételement.

Lad n₁ være det ene nulelement, og n₂ være det andet. Vi kan så se, at disse to må være ens:

n₁ =
n₁ + n₂ =
n₂ + n₁ =
n₂

Dette gøres ved at bruge reglen om, at n er neutral overfor addition. Linje 3 gør brug af reglen om kommutativitet. Noget lignende kan gøres med ételementet.

Endvidere kan bl.a. bevise at (x + y)² = x² + 2xy + y² ved at sige

(x + y)² =
(x + y) × (x + y) =
(x × (x + y)) + (y × (x + y)) =
(x × x) + (x × y) + (y × x) + (y × y) =
xx + xy + yx + yy =
x² + xy + xy + y² =
x² + 2xy + y²