שדה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שדה הוא מבנה אלגברי חשוב המופיע במקומות שונים במתמטיקה. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים הממשיים.

[עריכה] הגדרה ודוגמאות

שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה $\ \mathbb {F}$ עם שתי פעולות בינאריות, להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל", ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1. הפעולות מקיימות את התכונות הבסיסיות של פעולות החיבור והכפל במספרים רציונליים: שתיהן קומוטטיביות ואסוציאטיביות, והחיבור דיסטריבוטיבי ביחס לכפל; 0 נייטרלי ביחס לחיבור ו- 1 נייטרלי ביחס לכפל; לכל איבר a יש איבר נגדי b (המקיים $\!\,a+b=0$ ); ולכל איבר a שאינו 0 יש איבר הפכי b (המקיים $\!\,ab=1$ ).

מן האקסיומות האלה נובעות כמה תכונות בסיסיות אחרות, שהחשובות שבהן הן היחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה ' $\ a+x=a$ לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), וכן היחידות של הנגדי וההפכי.

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). באלגברה לינארית לומדים מרחבים וקטוריים מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

$\mathbb {Q}$ - שדה המספרים הרציונליים.
$\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.
$\mathbb {C}$ - שדה המספרים המרוכבים.
$\mathbb {F}_q$ - השדה הסופי מסדר $\ q$ (משתמשים גם בסימון $\ GF(q)$ , קיצור ל- Galois Field, על-שם אווריסט גלואה).

[עריכה] תת שדות

תת-קבוצה של שדה F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור וחיסור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.