Fundamentalsatz der Analysis

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Der Fundamentalsatz der Analysis, auch bekannt als zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung^[1] bringt die beiden grundlegenden Konzepte der Analysis, nämlich das der Integration und das der Differentiation, miteinander in Verbindung. Er besagt: Ist $I\subset\mathbb R$ ein reelles Intervall, $f:I\to\mathbb R$ eine stetige Funktion und $a\in I$ ein beliebiges Element, so ist die Funktion

$F:I\to\mathbb R,\; x\mapsto \int_a^x f(t)\,dt$

stetig differenzierbar und ihre Ableitung ist $F^{\prime} = f$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Beweis des Fundamentalsatzes
2 Anwendungen
- 2.1 Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen
- 2.2 Beispiele
3 Quellen und Bemerkungen

[Bearbeiten] Beweis des Fundamentalsatzes

Es sei $x\in I$ fest und $(h n)$ eine Nullfolge mit der Eigenschaft, dass $h_n \neq 0$ und $x + h_n \in I$ stets gilt. Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zu jedem $n$ ein $c n$ zwischen $x$ und $x + h n$ , so dass

$F(x+h_n) - F(x) = \int_x^{x+h_n} f(t)\,dt = f(c_n)\cdot h_n$

gilt. Nach dem Einschnürungsprinzip für Folgen gilt $c_n\to x$ , und wegen der Stetigkeit von $f$ folgt daraus

$\lim_{n\to\infty} \frac{F(x+h_n) - F(x)}{h_n} = \lim_{n\to\infty} f(c_n) = f(\lim_{n\to\infty} c_n) = f(x),$

d. h. $F$ ist in $x$ differenzierbar mit der Ableitung $f (x)$ .

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen

Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt darin, dass er es ermöglicht, die Integrale vieler Funktionen exakt zu berechnen. Dazu verwendet man die folgende Folgerung aus dem Fundamentalsatz: ist $I$ wieder ein Intervall, $f:I\to\mathbb R$ stetig und $F:I\to\mathbb R$ eine Stammfunktion zu $f$ (also eine differenzierbare Funktion mit $F '= f\,$ ), so erkennt man durch Einsetzen von a und b als x in die Funktion aus der Einleitung, dass für beliebige $a,b\in I$ gilt:

$\begin{matrix} \int_a^b f(t)\,dt & = & \int_a^m ... + \int_m^b ... & = \int_m^b ... + \int_a^m ... = \int_m^b ... - \int_m^a ... \\ & = & F(b)-F(a) & \end{matrix}$

Dabei steht m für das beliebige Element aus dem Intervall. In der Einleitung wurde es a genannt, doch dieser Buchstabe wird hier schon benutzt. Diese Gleichung nennt man Newton-Leibniz-Formel. Der Beweis dieser Folgerung ergibt sich damit, dass sich Stammfunktionen derselben Funktion nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung nur um eine additive Konstante unterscheiden können, die aber wegen der Differenzbildung nicht ins Gewicht fällt.

Damit ist das Problem der Berechnung von Integralen auf das Problem der Bestimmung von Stammfunktionen zurückgeführt; dies ist jedoch im Allgemeinen sehr schwierig.

[Bearbeiten] Beispiele

Die auf ganz $\mathbb R$ definierte Funktion $f (x) = x 2$ besitzt die Stammfunktion $F (x) = x 3 / 3$ , und wir erhalten somit

$\int_0^2 x^2\,dx = F(2) - F(0) = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac 8 3.$

Die auf $I = [ - 1,1]$ definierte Funktion $g(x) = \sqrt{1-x^2}$ , deren Graph den Rand eines Einheitshalbkreises beschreibt, besitzt die Stammfunktion $G(x) = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (\arcsin x + x\cdot g(x))$ . Für die Fläche des Einheitskreises erhält man somit den Wert

$2\int_{-1}^1 g(x)\,dx = 2(G(1) - G(-1)) = \pi.$

An diesem Beispiel zeigt sich bereits, wie schwierig es sein kann, Stammfunktionen gegebener Funktionen einfach zu erraten; in vielen Fällen helfen jedoch die Verfahren der partiellen Integration (Produktintegration) und der Substitutionsregel.