Hilbertraumbasis

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In einem n-dimensionalen K-Vektorraum V ist eine Basis $E=(e_1,\dots,e_n)$ insbesondere dadurch charakterisiert, dass die Abbildung

$E:K^n\to V:x=(x^1,\dots,x^n)^t\mapsto E\cdot x=e_1x^1+\dots+e_nx^n$

bijektiv ist.

Bei einem nicht endlichdimensionalen Raum ergibt sich unter anderem das Problem, dass obige Summe nicht definiert ist. Es erweist sich als einfacher, zunächst statt nach einer Hilbertraumbasis nach Koordinatenfunktionalen im Hilbert-Raum zu fragen. Koordinaten sind hier eine Menge linearer Funktionale, mittels derer Werte ein Vektor eindeutig identifiziert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Systeme linearer Funktionale
2 Basis im Hilbertraum
- 2.1 Riesz-Basis
- 2.2 Hilbert-Basis

[Bearbeiten] Systeme linearer Funktionale

In jedem Hilbert-Raum H sind Funktionale durch Vektoren darstellbar (Rieszscher Darstellungssatz), sei also $X\subset H$ eine abzählbare Teilmenge, die die Funktionale $H\ni v\mapsto\langle v,x\rangle$ für jedes $x\in X$ definiert.

[Bearbeiten] Koeffizientenraum

Mit $\ell_2(X)$ sei die Menge aller Folgen $c=\{c_x\}_{x\in X}$ von X in den Skalarraum von H (R oder C) bezeichnet, für welche $\|c\|^2:=\sum_{x\in X} |c_x|^2<\infty$ ist. Dieser Raum ist isometrisch isomorph zu $\ell_2(\N,\mathbb K)$ , dem Modell eines separablen Hilbertraums.

[Bearbeiten] Bessel-System

X heißt Bessel-System, falls eine Besselsche Ungleichung gilt, d.h. falls es eine Konstante B>0 gibt mit

$\sum_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2\le B\,\|v\|^2$ .

Damit erzeugt X einen stetigen linearen Operator

$\mathcal E^*:H\to \ell_2(X):v\mapsto \{\langle x,v\rangle\}_{x\in X}$ ,

welche der adjungierte Operator zum dann ebenfalls beschränkten Operator $\mathcal E:\ell_2(X)\to H:c=\{c_x\}_{x\in X}\mapsto \sum_{x\in X}c_x\cdot x$ der unendlichen Linearkombination ist.

[Bearbeiten] Rahmen

Ist diese Abbildung streng injektiv, d.h. gibt es eine weitere positive Konstante A mit

$A\,\|v\|^2\le \sum_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2$

so nennt man X einen Frame (engl. für aufspannenden Rahmen) im Hilbertraum, gilt sogar $A = B$ , so heißt X straffer Frame (engl. "tight frame"). Für einen straffen Frame ist die Abbildung $P_X:=\frac1A \mathcal E\circ\mathcal E^*:H\to H$

$\forall v\in H: P_X(v):=\frac1A\sum_{x\in X} \langle v,x\rangle\,x$ ,

ein orthogonaler Projektor.

Allgemein gibt es zu einem Frame X einen dualen Frame RX, wobei R eine stetige lineare Abbildung $R:H\to H$ ist, die über die geometrische Reihe zu

$R:=C(I-T)^{-1}=C\sum_{k=0}^\infty T^k$ definiert ist, wobei

$T:=I-\frac1C\mathcal E\circ\mathcal E^*$ mit $C:=\frac{A+B}2$

klein genug ist im Sinne des Konvergenzradius, d.h. T hat eine Operatornorm $\|T\|\le \frac{B-A}{B+A}< 1$ .

Dann kann der orthogonale Projektor in H zum Frame X definiert werden als $P_X:=\mathcal E\circ R\circ\mathcal E^*:H\to H$ , d.h. $\forall v\in H: P_X(v)=\sum_{x\in X} \langle x,v\rangle\,Rx =\sum_{x\in X} \langle Rx,v\rangle\,x$ ist die Bestapproximation von v durch Linearkombinationen aus Vektoren in X.

[Bearbeiten] Basis im Hilbertraum

Bisher können wir jedem Element des Hilbertraums eindeutig eine Koordinatenfolge in $\ell_2(X)$ zuordnen. In umgekehrter Richtung wissen wir nur, dass wir mittels eines orthogonalen Projektors das nächstliegende Element von H erhalten, welches durch X ausdrückbar ist. Verlangen wir, dass dieser Projektor die Identität ist, so gelangen wir zu zwei Basisbegriffen.

[Bearbeiten] Riesz-Basis

Ist X ein Frame und ist die Koordinatenabbildung $\mathcal E^*:H\to\ell_2(X)$ surjektiv, so folgt

$\forall c \in \ell_2(X): \;A\,\|c\|_{\ell_2}\le \|\sum_{x\in X}c_x\,x\|_H\le B\,\|c\|_{\ell_2}$ ,

womit $\mathcal E$ die stetige Inverse $\mathcal E^{-1}(v)=\{\langle v,Rx\rangle_{x\in X}\}$ besitzt. In diesem Fall heißt X stabile oder Riesz-Basis.

Besitzt ein Hilbertraum eine solche abzählbare Riesz-Basis, so wird er separabel genannt.

[Bearbeiten] Hilbert-Basis

Gilt zusätzlich noch A=B=1, so ist X ein vollständiges Orthonormalsystem, welches auch als Hilbert-Basis bezeichnet wird. In diesem Fall gilt sowohl die Parsevalsche Gleichung

$\forall v \in H:\;\|v\|^2=\sum_{x\in X}|\langle v,x\rangle|^2$ ,