Partielle Ableitung

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In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Verwendung 3 Beispiele 4 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rⁿ, und f: U → R eine Funktion. Sei weiterhin ein Element a=(a₁, ..., a_n) in U gegeben. Falls für die natürliche Zahl i, 1 ≤ i ≤ n, der folgende Grenzwert existiert:

dann nennt man ihn die partielle Ableitung von f nach der i-ten Variablen x_i im Punkt a. Die Funktion f heißt dann im Punkt a partiell differenzierbar.

Die partielle Ableitung nach x_i ist selbst wieder eine Funktion von U nach R, falls f in ganz U nach x_i partiell differenzierbar ist.

Das Symbol wird als "d" oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen.

Den Vektor

nennt man den Gradienten von f.

Das Symbol wird Nabla genannt.

Als abkürzende Schreibweise ist auch oft oder zu finden.

[Bearbeiten] Verwendung

Partielle Ableitungen ermöglichen die Berechnung einer Lösung für Probleme, die von mehreren Parametern abhängen.

Das Bestimmen der optimalen Lösung ist ein Extremwertproblem.

Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung).

Die Verallgemeinerung des Differenzialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines totalen Differentials. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der Thermodynamik.

Partielle Ableitungen sind darüberhinaus ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern.

In der physikalischen Fehlerrechnung wird die partielle Ableitung auch benutzt, um zu bestimmen, wie sich eine Ungenauigkeit in einer Messgröße auf andere, daraus abgeleitete, Messgrößen auswirkt. (siehe Gauss'sche Fehlerfortpflanzung)

[Bearbeiten] Beispiele

Die partielle Ableitung setzt eine Funktion voraus, die von mehreren Parametern abhängt.

Als Beispiel wird die Funktion f(x,y): = x² + y² betrachtet, die von den beiden Parametern x und y abhängt.

Betrachtet man den Parameter y als eine Konstante, z.B. y = 3, so hängt die Funktion f(x,3) nur noch von dem Parameter x ab:

f(x,3) = x² + 9

Für die neue Funktion g(x) = x² + 9 kann man den Differenzialquotienten bilden

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x bildet:

Die partielle Ableitung von f(x,y) nach y lautet entsprechend:

Dieses Beispiel demonstriert wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Parametern abhängt:

bis auf einen Parameter werden alle anderen Parameter als konstant angenommen, bezüglich dieses einen Parameters wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach diesem einen Parameter.

Das folgende Beispiel gibt eine geometrische Deutung der partiellen Ableitung:

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Graph der Funktion betrachtet.

Der Definitionsbereich ist die (abgeschlossene) Kreisscheibe mit Radius 1 in der x,y-Ebene mit dem Mittelpunkt (0,0).

Die Funktion f projiziert diesen Kreis auf die Oberfläche einer Halbkugel vom Radius 1 (die "obere Halbkugel"). Der Pol dieser Halbkugel ist Extremwert von f (ein Maximum).

Für einen festen Wert von x ist dann f(x,y) eine Funktion von y.

Bei festem x ergeben die Punkte y (so dass (x,y) aus dem Definitionsbereich von f ist) eine Strecke parallel zur y - Achse.

Diese Strecke wird von f auf eine gekrümmte Linie auf der Oberfläche der Halbkugel projiziert.

Die partielle Ableitung von f nach y bestimmt unter diesen Voraussetzungen die Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt f(x,y).

Für jeden Parameter einer Funktion f kann man partielle Ableitungen bestimmen.

[Bearbeiten] Literatur

• Kurt Endl; Wolfgang Luh: Analysis II, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974