Trapez (Geometrie)

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In der Geometrie ist ein Trapez ein konvexes ebenes Viereck mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten. Eine der beiden parallelen Seiten wird oft als Basis des Trapezes bezeichnet, und die beiden angrenzenden (im allgemeinen nicht-parallelen) Seiten als Schenkel. Im Trapez gibt es zwei Paare benachbarter Supplementwinkel (das heißt die Winkel ergänzen einander auf 180 Grad).

Parallelogramm, Rhombus (Raute), Rechteck und Quadrat sind Sonderfälle des Trapezes.

Die Höhe h des Trapezes ist der Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten.

Jedes Trapez besitzt zwei Diagonalen, die einander schneiden.

Formeln zum Trapez
Flächeninhalt	$A \, =\, \frac{a+c}{2} \cdot h$
Höhe	$h \, = \, b \cdot \sin\gamma = d \cdot \sin\delta$
Höhe	$h \, = \, \frac{2}{c-a} \sqrt{s (s-(c-a)) (s-b) (s-d)}$ , mit $s \, = \, \frac{(c-a)+b+d}{2}$
Diagonalenlänge	$e \, = \, \sqrt{a^2 + b^2 - 2\,a\, b\, \cos \beta} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2\,c\,d\, \cos \delta}$ $f \, = \, \sqrt{a^2 + d^2 - 2\,a\,d\,\cos\alpha} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,\cos\gamma}$
Seitenlängen	$a,\,b,\,c,\,d$
Größen der Innenwinkel	$\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta$

Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der heronischen Formel für die Dreiecksfläche herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem Kosinussatz.

[Bearbeiten] Gleichschenkeliges Trapez

Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. (Daraus folgt dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind.) Die beiden nicht notwendig parallelen Seiten sind dann gleich lang. Auch die beiden Diagonalen sind im gleichschenkligen Trapez gleich lang.

Die Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis, es handelt sich um ein Sehnenviereck. Das Trapez wird von der Höhe h, die durch den Umkreismittelpunkt M geht, in zwei spiegelsymmetrische Teile zerlegt.