Kosinussatz

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In der Trigonometrie stellt der Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her.

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel γ gilt:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a\cdot b \cdot \cos \gamma$

Für $γ$ = 90°, also ein rechtwinkliges Dreieck, ergibt sich als Spezialfall der Satz des Pythagoras:

$c^2 \, = a^2 + b^2$

Die Kongruenzsätze SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Alle Formeln für das allgemeine Dreieck:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b\cdot c \cdot \cos \alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a\cdot c \cdot \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a\cdot b \cdot \cos \gamma$

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann!

[Bearbeiten] Beweis

Im linken Teildreieck soll der Satz des Pythagoras angewandt werden, um einen Rechenausdruck für $c 2$ zu finden. Dazu benötigt man die Quadrate der Kathetenlängen dieses Teildreiecks:

$h^2 \,= b^2 - e^2$ (Satz des Pythagoras für das rechte Teildreieck)

$d^2 = (a-e)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2$ (binomische Formel)

Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:

$c^2 \,= h^2 + d^2$

Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:

$c^2 = b^2 - e^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot e$

Nun gilt aber

$\cos \gamma = \frac{e}{b}$ $\left(\frac{\rm Ankathete}{\rm Hypotenuse}\right)$

mit der Folgerung

$e = b \cdot \cos\gamma$ .

Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für $c 2$ ergibt die Behauptung:

$c^2 = \underline{\underline{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma}}$

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Gegeben sei ein Dreieck ABC, bei dem die Längen aller drei Seiten bekannt sind.

$a = 4{,}9\;\rm cm$

$b = 2{,}8\;\rm cm$

$c = 3{,}5\;\rm cm$

Gesucht ist die Winkelgröße $β$ (Bezeichnungen wie üblich).

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos \beta \, = \, \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \frac{(4{,}9\,{\rm cm})^2 + (3{,}5\,{\rm cm})^2 - (2{,}8\,{\rm cm})^2} {2 \cdot 4{,}9\,{\rm cm} \cdot 3{,}5\,{\rm cm}} = 0{,}83$