Viereck

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Dieser Artikel beschreibt die ebene, geometrische Figur.Weitere Bedeutungen finden sich unter Viereck (Begriffsklärung).

Hierarchie der Vierecke

Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).

Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als 2 Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Für jedes Viereck gilt:

Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.

Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene (Raumfüller).

[Bearbeiten] Spezielle Vierecke

Trapez Viereck mit mind. zwei parallelen Seiten.

Parallelogramm: Viereck, bei dem je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Rechteck: Viereck mit vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°, siehe rechter Winkel)

Deltoid (Drachenviereck): Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Diagonale durch die andere halbiert wird. <==> Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die jeweils gleich lang sind.

Rhombus (Raute): Viereck mit vier gleich langen Seiten
Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten <==> Rhombus mit vier gleichen Winkeln
Sehnenviereck: Viereck mit einem Umkreis (Die vier Seiten sind Sehnen des Umkreises.)
Tangentenviereck: Viereck mit einem Inkreis (Die vier Seiten sind Tangenten an den Inkreis.)

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten u.a. folgende Mengenrelationen:
(Dabei steht jeder Begriff X synonym für Menge aller X)

Die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, zum Beispiel:
Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ Konvexes_Viereck

Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Drachenviereck ∩ gleichschenkliges Trapez
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

[Bearbeiten] Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

nach Eigenschaften des Inneren:
- konvex
- nicht konvex

nach Symmetrie-Eigenschaften:
- eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
- beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
- die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkeliges Trapez
- die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
- vier Symmetrieachsen: Quadrat
- zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
- vierzählige Symmetrie: Quadrat

nach der Länge der Seiten:
- zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
- zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
- gleichseitiges Viereck: Rhombus
- die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

nach der Größe der Winkel:
- zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
- zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges Trapez
- gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
- die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

nach der Lage der Seiten:
- ein Paar paralleler Seiten: Trapez
- zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
- die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck