Teorema del binomio
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En matemáticas, el teorema del binomio proporciona la expansión de las potencias de una suma .
donde
- De manera que sustituyendo se obtiene :
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
[editar] Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
[editar] Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.
