Teorema binomiale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) è una formula che permette di ottenere lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio qualsiasi. La forma algebrica di tale formula è:

$(a+b)^n_{} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^{k}$

in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale di ciascun monomio costituente lo sviluppo in questione.

Il valore del generico coefficiente binomiale è infatti uguale all'elemento dell'n-esima riga in k-esima posizione del triangolo di Tartaglia, con $\ n=0,1,...,m$ e $\ k=0,...,n$ . Infatti detto $\ a_{n,k}$ il generico termine del triangolo, valgono le identità $a_{n,0}={n \choose 0}=1$ ed $a_{n,n}={n \choose n}=1$ , da cui discende che essendo il triangolo di Tartaglia costruito secondo la ricorsione $\ a_{n,k}=a_{n-1,k}+a_{n-1,k-1}$ , con $\ a_{n,0}=1$ ed $\ a_{n,n}=1$ e in forza della proprietà dei coefficienti binomiali ${n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}$ , vale l'uguaglianza

$a_{n,k}={n \choose k}$ .

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,$

[modifica] Dimostrazione

Il Teorema binomiale può essere dimostrato per induzione.

Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

$(a+b)^1_{} = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

$(a+b)^n_{} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^{k}$

sicuramente vera per n=1

si ha

$(a+b)^{n+1}\,$	$=(a+b)(a+b)^n\,$
	$=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$
	$=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k} b^{k+1}$

da cui, essendo

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}$	$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}$
	$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$
	$= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}$

$\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}$

$= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

$(a+b)^{n+1} \,$	$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1} \,$
	$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}$
	$={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1}$

essendo infine $\ {n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1$ e $\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1$

si ha che

$\ {n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n} b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1} b^{n+1}$