Binomialsatsen

Wikipedia

Binomialsatsen är en allmän sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom. Själva formeln, kallad binomialformeln, ges av

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k y^{n-k}$

där n är ett icke-negativt heltal och talen

${n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

är binomialkoefficienter (de utläses n över k), och där n! betecknar n-fakultet.

Formeln och Pascals triangel, som kan användas för att räkna ut koefficienterna, brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Innehåll

1 Newtons generaliserade binomialsats
2 Andra generaliseringar
- 2.1 Abel
- 2.2 Cauchy
3 Bevis
- 3.1 Se även:

[redigera] Newtons generaliserade binomialsats

Isaac Newton visade att man kan generalisera satsen till att gälla fallet då exponenten inte är ett heltal

$(x+y)^r = \sum_{k=0}^\infty {r\choose k} x^k y^{r-k}$

där $r$ kan vara ett godtyckligt komplext tal och $| x / y | < 1$ . Binomialkoefficienterna ges då av

${r \choose k} = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} (r-j) = \frac{r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}$

När $k = 0$ reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

[redigera] Andra generaliseringar

[redigera] Abel

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}$

som gäller för $x\not=0$ och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när $z = 0$ .

[redigera] Cauchy

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen

$(x+y)(x+qy)\ldots(x+q^{n-1}y) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}_{\!q} q^{k(k-1)/2}x^{n-k}y^k$

för icke-negativa heltal n. I ovanstående formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

${n\choose k}_{\!q} = \frac{(n)_q!}{(n-k)_q!\,(k)_q!}$

där $(n) q$ och $(n) q!$ är beteckningar för

$(n)_q = 1+q+\cdots+q^{n-1}\quad\text{och}\quad (n)_q! = (n)_q(n-1)_q\ldots(1)_q$

[redigera] Bevis

Man kan bevisa binomialsatsen via matematisk induktion. För n = 0 gäller

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

Antag nu att satsen stämmer för $n = m$ .

För $n = m + 1$ gäller då

$(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,$

$= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$ (från induktionsantagandet)

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ (multiplicera in

a

och

b

under summationstecknet)

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ (flytta ut termen för

k = 0

ur summan)

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$ (substitution så att

j = k - 1

)

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$ (flytta ut termen för

k = m + 1

ur den högra summan)

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$ (kombinera summorna)

$= {m+1 \choose 0} b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k + {m+1 \choose m+1} a^{m+1}$ (Pascals identitet, regler för binomialkoefficienten)

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ (lägg till de två överblivna termerna till summan)