이항정리

이항정리(二項定理)는 이항 다항식 $x + y$ 의 거듭제곱 $(x + y) n$ 에 대해서, 전개한 각 항 $x k y n - k$ 의 계수 값을 구하는 정리이다.

구체적으로 $x k y n - k$ 의 계수는 n 개 에서 k 개를 고르는 조합의 가짓수인 _nC_k이고, 이를 이항계수라고 부른다. 계승을 이용해 다시 쓰면 다음과 같다.

${n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!} = {}_n{\rm C}_k.$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)$

이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 13세기 중국의 수학자 양휘에 의해 알려진 것이다.

예를 들어, 여기서 n = 2, n = 3 그리고 n = 4일 경우에는 다음과 같다:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,$

식 (1)은 모든 실수 또는 복소수 x와 y에 대하여 성립한다.

[편집] 가환 환으로의 확장

이항정리를 적용하는 다항식 x + y 는 꼭 실수 또는 복소수를 계수로 갖는 다항식일 필요는 없다. 이항정리는 다항식의 계수가 임의의 가환환의 원소일 때에 성립한다.

또한 |x|<1일때 1 + x의 임의의 복소수 α 제곱은 다음과 같이 이항급수로 테일러 전개된다. 이것을 일반 이항정리 혹은 뉴턴의 이항정리 등으로 부르기도 한다.

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k.$

단지, 이 전개의 계수는

${\alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$

가 된다. α가 자연수라면, 이는 앞에서 정의한 것과 일치한다.

다항정리 (多項定理)란 말 그대로 항이 둘을 넘는 다항식으로 이항정리를 확장한 것으로, 항이 k개인 다항식의 제곱 (x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ 에 대해 전개한 각항

$\mathbf{x}^\mathbf{p} = x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k} \ (|\mathbf{p}|= p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n)$

의 계수를 구하는 정리이다. 다시 말하면, k가 2일 때 이항정리가 된다.

구체적으로 쓰면 (x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ 의 일반항 x^p (p = (p₁, ..., p_k), |p| = n) 의 계수는

${n \choose \mathbf{p}} = {n \choose p_1,p_2,\ldots,p_k} = \frac{n!}{p_1!\,p_2!\cdots p_k!}$

이다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum_{\mathbf{p}\in \mathbb{N}^k,\,|\mathbf{p}| = n} {n \choose \mathbf{p}} \mathbf{x}^{\mathbf{p}}.$