Eksponenttifunktio
Wikipedia
Eksponenttifunktio, tai joskus eksponentiaalifunktio, on eräs matematiikan tunnetuimmista funktioista. Se merkitään ex tai exp(x), missä e on Neperin luku. Jos x on monimutkainen lauseke, käytetään yleensä jälkimmäistä muotoa.
Reaalilukumuuttujan x funktiona eksponenttifunktion ex kuvaaja on aina positiivinen (x-akselin yläpuolella) ja kasvava. Se ei koskaan saavuta x-akselia vaan lähestyy sitä äärettömästi. Näin ollen x-akseli muodostaa kuvaajan vaakasuoran asymptootin.
Eksponenttifunktion käänteisfunktio, luonnollinen logaritmi ln(x), on määritelty kaikilla positiivisilla x:n arvoilla.
[muokkaa] Derivaatat ja differentiaaliyhtälöt
Eksponenttifunktioiden merkitys johtuu niiden derivaattojen ominaisuuksista:
Tämä tarkoittaa, että ex on yhtä suuri kuin oma derivaattansa. Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen reaalilukumuuttujien reaalilukuarvoisilla funktioilla. Toisin sanoen:
- Funktion kuvaajaa sivuavan suoran kulmakerroin missä kohdassa kuvaajaa tahansa on yhtä suuri kuin funktion arvo samassa kohdassa.
- Funktion kasvunopeus kohdassa x on yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x.
- Funktio ratkaisee differentiaaliyhtälön y′ = y.
Monet differentiaaliyhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö ja Laplacen yhtälö, johtavat eksponenttifunktioihin.
Muille eksponenttifunktioille pätee:
Täten jokainen eksponenttifunktio on oma derivaattansa vakiolla kerrottuna.
Jos muuttujan kasvu tai väheneminen on suhteessa muuttujan kokoon, kuten esimerkiksi on tapaus rajoittamattomassa väestönkasvussa tai radioaktiivisessa hajoamisessa, voidaan muuttuja kirjoittaa muodossa vakio kertaa eksponenttifunktio ajan suhteen.
[muokkaa] Määritelmä
Eksponenttifunktio voidaan määritellä sarjana
tai raja-arvona:
Tässä n! on kertoma ja x on reaaliluku tai kompleksiluku.
