지수 함수
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지수 함수란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 (보통의 경우) 실수 전체로 확장하여 정의되는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이기도 하다.
[편집] 정의
a가 음이아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수 (혹은 유리수)일 때, 이함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
- ax 는 R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
- a0 = 1
- ap+q = apaq
[편집] 미분
밑이 e 인 지수 함수 ex 의 도함수는 ex 자신이 된다. ex 를 exp x 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax 는 자연로그 ln 을 사용하여, exp(ln(a)x) 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax 의 도함수는 (ln a)ax 가 된다.
exp(x) 는 미분방정식 dy/dx = y 의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 dy/dx = y , y(0) = 1 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.
해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가르킨다.
