פונקציה מעריכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה $\ a^x$ . המספר $\ a$ נקרא בסיס הפונקציה. כאשר מגדירים את הפונקציה כפונקציה ממשית, מגבילים לרוב את בסיס החזקה ודורשים $\ a>0$ .

דוגמה:

אם $\ f(x)=2^x$ אז $\ f(4)=16, f(10)=1,024$
אם $\ f(x)=10^x$ אז $\ f(2)=100, f(6)=1,000,000$

המספר e מהווה בסיס מיוחד לפונקציה המעריכית. ייחוד זה בא לידי ביטוי, למשל, בכך שנגזרת פונקציה מעריכית ש-e הוא בסיסה זהה לפונקציה עצמה. פונקציה מעריכית שבסיסה הוא e נקראת אקספוננט.

הפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית היא פונקציית הלוגריתם.

גרפים של פונקציות אקספוננציאליות אחדות

כפונקציה ממשית, פונקציה מעריכית היא פונקציה עולה אם בסיסה גדול מ-1. אם הוא 1 היא הפונקציה הקבועה 1, ואם הוא קטן מ-1 וגדול מ-0 היא יורדת. בפונקציות מעריכיות ממשיות, מגבילים את בסיס הפונקציה המעריכית למספרים חיוביים בלבד, מכיוון שבבסיס שלילי, הפונקציה לא תהיה מוגדרת עבור מספרים מסוימים (0.5 וכד').

פונקציה מעריכית ממשית גדלה מהר יותר מכל פולינום (אם $\ f$ היא פונקציה מעריכית ו- $\ g$ פולינום, מסמנים $\ f=o(g)$ ), אבל מהר פחות מעצרת ( $\ n!$ ).

[עריכה] הגדרת הפונקציה המעריכית

במסגרת החשבון האינפיניטיסימלי, הדרך הקלה והמהירה ביותר להגדיר את הפונקציה המעריכית, היא באמצעות האקספוננט ( $\ e^x$ ) והלוגריתם הטבעי, כאשר את הפונקציה $\ e^x$ , ואת הקבוע הקבוע e מגדירים באמצעות טור חזקות: $\ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ . מבחני ההתכנסות הסטנדרטיים מראים שהטור מתכנס לכל ערך ממשי x, ולכן ניתן להגדיר באופן טבעי $\ e=e^1$ .

את הפונקציה הכללית $\ a^x$ מגדירים:

$\ a^x = e^{x \cdot ln a }$

ניתן להגדיר באופן כללי את הפונקציה המעריכית באמצעות פיתוח חוקי החזקות של חתכי דדקינד מתוך פעולת החזקה של המספרים הרציונליים, בלי תלות בפונקציית האקספוננט.

[עריכה] תכונות הפונקציה המעריכית

כל תכונות הפונקציה המעריכית נובעות מתכונות האקספוננט. כך, הפונקציה המעריכית היא פונקציה רציפה וגזירה. הפונקציה המעריכית הפיכה כאשר בסיסה שונה מאחד, כלומר $a \ne 1$ (כלומר כאשר $\ ln a \ne 0$ ). הפונקציות המעריכיות מעבירות חיבור לכפל, וכפל לחזקה כלומר מתקיימות התכונות:

$\ a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

$\ (a^x)^y = a^{x\cdot y}$

למעשה, קל לראות שאם פונקציה כלשהי מעבירה כפל לחזקה (מקיימת את התכונה השנייה), אז היא בהכרח פונקציה מעריכית. לעומת זאת פונקציה שמעבירה חיבור לכפל (מקיימת את התכונה הראשונה) איננה בהכרח פונקציה מעריכית, אם היא לא רציפה.

[עריכה] דוגמאות

גידול אוכלוסייה. אם לכל אדם נולדים שני ילדים (4 ילדים לזוג), אז גידול האוכלוסייה הוא אקספוננציאלי בבסיס 2.
פריקת וטעינת קבל דרך נגד מבוטאת על ידי הקשר $\ I={I_0}^{\frac {-t}{RC}}$ .
בהסתברות: התפלגות מעריכית.
בפיזיקה: התפלגות בולצמן.
בתחומי ההונאה היצירתית: מזימת פירמידה.