Keuzeaxioma

Van Wikipedia

Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma in de wiskunde, geformuleerd door Ernst Zermelo. Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een collectie verzamelingen, mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen een element te kiezen. Preciezer geformuleerd:

Zij X een collectie niet-lege verzamelingen. Dan is er een functie f, gedefinieerd op X, zodanig dat f(V) een element van V is voor elke verzameling V in X.

Het keuzeaxioma is nuttig in tal van gebieden van de wiskunde. Tevens is het equivalent met een aantal andere stellingen, waaronder het lemma van Zorn en welordeningsprincipe. Het is aangetoond dat het keuzeaxioma niet volgt uit de andere wetten van de verzamelingenleer, en er ook niet mee in tegenspraak is.

Alle bewijzen die gebruikmaken van het keuzeaxioma zijn niet-constructief: het bestaan van een bepaald object wordt aangetoond zonder dat het mogelijk is dit object ook daadwerkelijk te vinden. Voorbeelden van stellingen waarvan het bewijs het keuzeaxioma vereist zijn:

• Verzamelingenleer
  • Een vereniging van aftelbaar veel aftelbare verzamelingen is zelf weer aftelbaar.
  • Als een verzameling A oneindig is, is er een injectieve afbeelding van de natuurlijke getallen naar A.
  • Als een verzameling A oneindig is, heeft A×A dezelfde cardinaliteit als A.
  • Twee verzamelingen hebben ofwel dezelfde cardinaliteit, ofwel één van de twee heeft kleinere cardinaliteit dan de andere.

• Algebra
  • Elke vectorruimte heeft een basis.
  • Elke ring heeft een maximaal ideaal.
  • Elk lichaam heeft een algebraïsche afsluiting.
  • De representatiestelling van Stone: elke Boolese algebra is isomorf met een Boolese algebra van verzamelingen.

• Functionaalanalyse
  • De stelling van Hahn-Banach
  • De stelling van Banach-Anaoglu
  • De categorieënstelling van Baire.

• Topologie
  • De stelling van Tychonoff, die zegt dat een product van compacte topologische ruimten zelf ook compact is.
  • In de producttopologie is de afsluiting van een product van deelverzamelingen gelijk aan het product van de afsluitingen.