Borne (mathématiques)
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[modifier] Définition
Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).
Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.
[modifier] Exemples
- Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
- La borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1.
- La borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
- L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de
qui n'a pas de borne supérieure dans - La partie
de 
ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée 
, il admet 
comme borne inférieure.
[modifier] Notions connexes
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