Точная верхняя грань

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum, самый высокий) подмножества Х упорядоченного множества M называется наименьший элемент M, который больше или равен всех элеменов множества Х. Обозначается $\sup X$ .

Более формально:

$S_X=\{y\in M |\ \forall x \in X: x \leq y\}\!$ — множество верхних граней X, то есть элементов M, больших, чем все элементы X

$s=\sup(X) \iff s \in S_X \and \forall y \in S_X: s\le y$

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum, самый низкий) подмножества Х упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который меньше или равен всех элеменов множества Х. Обозначается $\inf X$ .

[править] Анализ

В математическом анализе рассматриваются числовые множества как подмножества множества вещественных чисел.

В отличие от максимального и минимального элемента, точная верхняя и точняя нижняя грань в $\Bbb R$ всегда существуют для ограниченного множества.

[править] Примеры

Для множества $S=\{\frac{1}{k} | k\in\Bbb N \} = \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \}$

$\sup S = 1$ ; $\inf S = 0$ .

Множество положительных действительных чисел $\Bbb R_+ = \{ x | x>0 \}$ не имеет точной верхней грани в $\Bbb R$ , точная нижняя грань $\inf \Bbb R_+ = 0$ .

Множество $X = \{ x\in\Bbb Q | x^2 < 2 \}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\Bbb Q$ , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то