Estremo superiore e estremo inferiore

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In matematica, l'estremo superiore di un sottoinsieme E contenuto in un insieme ordinato X è il più piccolo elemento dei maggioranti di E. In altre parole è il più piccolo elemento di X che è maggiore o uguale di ogni elemento di E.

In modo duale, l'estremo inferiore di E è definito come il più grande elemento dei minoranti di E, cioè il più grande elemento di X che è minore o uguale di ogni elemento di E.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad E oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetto di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Indice

1 Definizione
2 Sottoinsiemi della retta reale
- 2.1 Esempi
3 Completezza ed esistenza
4 Notazioni
- 4.1 Esempi
5 Funzioni monotone
6 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia $(X,\leq)$ un insieme totalmente ordinato, $E\subseteq X$ . Se esiste un elemento $y\in X$ tale che:

$y$ è un maggiorante di $E$
se $z < y$ allora $z$ non è un maggiorante di $E$

diciamo che $y$ è estremo superiore di $E$ , in simboli $y=\sup E$ e diciamo che $E$ è limitato superiormente.

La seconda proprietà di $y$ nella definizione è formulata come negazione, si può riformulare nei seguenti modi:

se $z < y$ esiste $x'\in E$ tale che $z < x' < y$
se $z$ è un altro maggiorante di E, allora $y\leq z$

Se invece esiste un elemento $x\in X$ tale che:

$x$ è un minorante di $E$
se $x < z$ allora $z$ non è un minorante di $E$

diciamo che $x$ è estremo inferiore di $E$ , in simboli $x=\inf E$ e diciamo che $E$ è limitato inferiormente. Analogamente si riformula la seconda proprietà.

Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

[modifica] Sottoinsiemi della retta reale

Se si considera un insieme $E\subseteq \R^*$ della retta reale estesa questo ha sicuramente estremo superiore e estremo inferiore.

Questo è garantito dall' assioma di Dedekind che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$ è completo e dalla convenzione che, se $E$ non è limitato superiormente (inferiormente) in $\mathbb{R}$ , si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: $\sup E=+\infty$ e/o $\inf E=-\infty$ .

[modifica] Esempi

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

$\sup\{1,2,3\} = 3$

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. 3 è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme, e ogni numero reale minore di 3 non è maggiorante dell'insieme;

$\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}=\inf (0,1)=0$

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti 0 non appartiene all'insieme;

$\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \}=\sup [0,1]=1$

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

$\inf \{y\in\mathbb{R}: y=1/x, x>0\}=\inf(0,\infty)=0$

Neanche in questo caso l'estremo inferiore appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona $1 / x$ per $x\to \infty$ ;

$\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 4\}=2$

l'estremo superiore coincide con il massimo;

$\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2<4\}=2$

come prima ma l'insieme non ha massimo;

$\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}=\sqrt{2}$

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma non coincide con il massimo, anzi l'insieme non ha massimo.

[modifica] Completezza ed esistenza

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia $E\subseteq\mathbb{Q}$ definito come:

$\{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}$ .

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se $x\in\mathbb{Q}$ e $x\geq 2$ , $x$ è maggiorante di $E$ . L'insieme però non ha estremo superiore ( $\sqrt{2}$ non appartiene a $\mathbb{Q}$ ). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, $\mathbb{R}$ , ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

[modifica] Notazioni

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

$y=\inf_{x\in A} f(x)$ con $f(x):X\to Y$ e $A \sub X$

a prima vista può sembrare un nonsenso perché si sta chiedendo l'estremo di una funzione, mentre l'estremo inferiore è relativo ad insiemi totalmente ordinati. Questa notazione è in realtà il modo compatto per esprimere:

$y=\inf\{z=f(x), x\in A\}$

e si intende che l'estremo inferiore va cercato nello spazio del codominio della funzione, $Y$ .

[modifica] Esempi

$\sup_{x\in\mathbb{R}} x^2 = +\infty$

infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente

$\inf_{x\in[0,1]} x^2 = 0$

e anche

$\inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0$

in questo caso però 0 non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio)

$\sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0$
$\sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1$

[modifica] Funzioni monotone

Come dimostrato nell'esempio $\inf \{y\in\mathbb{R}: y=1/x, x>0\}=\inf(0,\infty)=0$ esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Infatti vale il seguente risultato:

Sia $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ una funzione monotona in $(a, b)$ . Allora esistono