无穷

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无穷或者无限, 来自于拉丁文的“infinitas”即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术技术层面的定义。
在神学方面，例如在像神学家Duns Scotus的著作中，上帝的无限能量是运用再无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限、绝对、上帝和芝诺的悖论在很多文章中被探讨。
在数学方面，无穷与如下如下主题或概念相关：数学的极限、aleph数、群在集合论、Dedekind－无限群、罗素悖论、hyperreal数、前瞻几何、实数的扩展以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。
在大众文化方面，我们有巴斯光年的呐喊：“去无限－并超越！”，　这句话也可被看作研究大型cardinal的集合论者的呐喊。

[编辑] 历史

[编辑] 早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度的Yajur Veda（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

印度耆那教的經書 Surya Prajnapti (c. 400 BC) 把數分作三類：可計的、不可計的及無限。每一類再細分作三序分：

   * 可計的: 小的、 中的 與 大的。
   * 不可計的: 接近不可計的、 真正不可計的 與 計無可計的。
   * 無限: 接近無限、真正無限 與 無穷無盡。

這是在人類第一次記載上出現無限也可以分類這一個念頭。

老子道德经第四十二章提到。道生一，一生二，二生三，三生万物。」就是一种朴素的无穷的思想。
秦始皇：“后世以计数，二世三世至于万世，传之无穷。”

[编辑] 文藝復興時代至近代

伽利略最先發現一個集合跟它自已的正適子集可以有相同的大少。他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是 1→1,2→4,3→9,4→16,.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

[编辑] 宗教中的无穷

佛教：無量壽，無量光，無量阿僧祇劫，無量億劫，四無量心－－慈、悲、喜、捨，無量眾生，法門無量誓願學，苦海無邊道教：無量天尊、無量度人、功德無量

[编辑] 哲学中的无穷

[编辑] 数学中的无穷

[编辑] 实分析中的无穷

在实分析中，符号 $\infty$ ,称为“无穷”，代表无界极限。 $x \to \infty$ 表示x超出任意给定值， $x \to -\infty$ 表示x最终小于任意给定值。标记为 $\infty$ 和 $-\infty$ 的点加入到实数组成的拓扑空间，就产生实数集的两点紧致化。再加入代数属性，我们就得到了超实数。也可将 $\infty$ 和 $-\infty$ 作为一个点，并得到实数的一点紧致化，也就是实射影线。射影几何在平面几何上引入无穷远线，在高维上也有类似概念。

无穷不但常用于定义极限，在实数分析中也可作为一个扩展实数集中的值; 若 f(t) ≥ 0 那么

$\int_{0}^{1} \, f(t) dt \ = \infty$ 表示f(t) 函数图像中t的取值范围超过有限的t等于0到1。
$\int_{0}^{\infty} \, f(t) dt \ = \infty$ 表示f(t) 函数图像在规定值范围内的面积随着它的上限的无限增大而无限制增大。
$\int_{0}^{\infty} \, f(t) dt \ = 1$ 表示尽管f(t) 函数规定值上限无限增大，它的图像面积仍等于1。

[编辑] 无穷大和无穷小

一般讲无穷指的都是无穷大，但是无穷小也是一种无穷。通过 $y = 1 / x$ 的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中，常用高阶无穷小的概念。

[编辑] 集合论中的无穷

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数(基数)，有不同的「无穷」。

这里比较不同的无穷的「大小」的时候唯一的办法就是通过是否可以建立「一一对应关系」来判断，而抛弃了欧几里德「整体大于部分」的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的无穷基数。

例如，

可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0 ( $\aleph_0$ )。
比可数集合「大」的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同( $2^{\aleph_0}$ )。
由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。