Polyèdre uniforme

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Un polyèdre uniforme est un polyèdre qui a pour faces des polygones réguliers et peut passer d'un sommet à l'autre (i.e. il existe une isométrie qui applique un sommet quelconque sur un autre. Il en découle que tous les sommets sont congrus, et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie axiale et rotationnelle.

Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi-réguliers ou semi-réguliers. Les faces et les sommets n'ont pas besoin d'être convexes, beaucoup de polyèdres uniformes sont aussi des polyèdres étoilés.

En excluant les ensembles infinis, il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider).

Les catégories incluent :

L'ensemble infini des prismes uniformes (incluant les prismes étoilés)
L'ensemble infini des antiprismes uniformes (incluant les antiprismes étoilés)
Les 5 solides de Platon - les polyèdres réguliers convexes
Les 4 solides de Kepler-Poinsot - les polyèdres réguliers non-convexes
Les 13 solides d'Archimède - les polyèdres quasi-réguliers convexes et les polyèdres semi-réguliers
Les 14 polyèdres non-convexes à faces convexes
Les 39 polyèdres non-convexes à faces non-convexes
1 polyèdre trouvé par John Skilling avec les paires d'arêtes qui coïncident.

Ils peuvent aussi être groupés par leur groupe de symétrie, ce qui est fait ci-dessous.

Sommaire

1 Histoire
- 1.1 Indexation
2 Formes convexes et arrangements de sommet fondamentaux
- 2.1 Définition des opérations
3 Formes non-convexes listées par groupes de symétrie et par arrangements de sommet
4 Voir aussi
5 Liens externes

[modifier] Histoire

Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide.
Johannes Kepler (1571-1630) fut le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède après que le travail original d'Archimède fut perdu.
Kepler (1619) a découvert deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) a découvert les deux autres.
De ceux qui restaient, 37 furent découverts par Badoureau (1881). Edmund Hess (1878) a découvert 2 de plus et Pitsch (1881) en découvrit 18 indépendemment, n'étant pas tous découverts précédemment.
Le géomètre célèbre Donald Coxeter découvrit les 20 restants en collaboration avec J.C.P. Miller (1930-1932) mais ne le publia pas. M.S. et H.C. Longuet-Higgins ont indépendemment découvert 11 d'entre-eux.
En 1954 H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller publièrent la liste des polyèdres uniformes.
En 1970 S. P. Sopov démontra leur conjecture établissant que la liste était complète.
En 1974, Magnus Wenninger publia son livre, Polyhedron models (patrons de polyèdres), qui est la première liste entière publiée des 75 polyèdres uniformes non-prismatiques, avec beaucoup de noms donnés auparavant non publiés donnés par Norman Johnson.
En 1975, John Skilling démontra indépendemment le caractère complet, et montra que si la définition du polyèdre uniforme est assouplie pour autoriser la coïncidence des arêtes alors seule une possibilité supplémentaire est offerte.
En 1993, Zvi Har'El produisit une construction informatique complète des polyèdres uniformes et de leurs duaux via leurs construction Kaleïdoscopiqye via un programme informatique appelé Kaleido, et résumé dans un article intitulé Uniform Solution for Uniform Polyhedra., comptant les solides 1-80.
En 1993 aussi, R. Mäder porta cette solution Kaleido vers Mathematica avec un système d'indexation légèrement différent.

[modifier] Indexation

Il existe quatre efforts d'indexation majeurs publiés à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, ils sont donnés par différentes lettres d'indexation, C pour la premières énumération des solides par Coxeter en 1954, W pour le livre de 1974 sur les patrons de polyèdres par Wenninger, K pour la solution Kaleido de 1993, et U pour la solution de Maeder utilisée par Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.

[C] 1954 : cet article listait les polyèdres uniformes par solides de 15 à 92. En démarrant avec 15-32 pour les formes convexes, 33-35 pour les 3 ensembles prismatiques infinis et finissant avec 36-92 pour les formes non-convexes.
[W] 1974 : le livre de Wenninger Polyhedron model énumérait les solides de 1 à 119 : 1-5 pour les solides de Platon, 6-18 pour les solides d'Archimède, 19-66 pour les formes étoilées incluant les 4 polyèdres réguliers non-convexes et finissait avec 67-119 pour les polyèdres uniformes non-convexes.
[K] 1993 Kaleido : les 80 solides donnés dans la solution Kaleido étaient groupés par symétrie, énumérés de 1 à 80 : 1-5 comme représentatifs des familles infinies des formes prismatiques avec la symétrie diédrale, 6-9 avec la symétrie tétraèdrique, 10-26 avec la symétrie octaèdrique, 46-80 avec la symétrie icosaèdrique.
[U] 1993 Mathematica : ce listing suivit celui de Kaleido, mais déplaça les 5 formes prismatiques vers la fin, décalant les formes non-prismatiques de 5, de 1 à 75.

[modifier] Formes convexes et arrangements de sommet fondamentaux

Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.

Note : les Dièdres font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux cotés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.

Chacunes de ces formes convexes definit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non-convexes dans la prochaine section.

	Parent	Tronqué	Rectifié	Bitronqué (dual tronqué)	Birectifié (dual)	Biseauté	Omnitronqué (Biseauté-tronqué)	Adouci
Symbole de Schläfli Étendu	$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	$t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	$t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	$r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	$t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	$s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$
Symbole de Schläfli Étendu	t₀{p,q}	t_0,1{p,q}	t₁{p,q}	t_1,2{p,q}	t₂{p,q}	t_0,2{p,q}	t_0,1,2{p,q}	s{p,q}
Symbole de Wythoff p-q-2	q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin (variations)

	(o)-p-o-q-o	(o)-p-(o)-q-o	o-p-(o)-q-o	o-p-(o)-q-(o)	o-p-o-q-(o)	(o)-p-o-q-(o)	(o)-p-(o)-q-(o)	( )-p-( )-q-( )
	xPoQo	xPxQo	oPxQo	oPxQx	oPoQx	xPoQx	xPxQx	sPsQs
	[p,q]:001	[p,q]:011	[p,q]:010	[p,q]:110	[p,q]:100	[p,q]:101	[p,q]:111	[p,q]:111s
Figure de sommet	p^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p.2q.2q)	q^p	(p.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
Tétraèdrique 3-3-2	Image:Uniform polyhedron-33-t0.png {3,3}	Image:Uniform polyhedron-33-t01.png (3.6.6)	Image:Uniform polyhedron-33-t1.png (3.3.3.3)	Image:Uniform polyhedron-33-t12.png (3.6.6)	Image:Uniform polyhedron-33-t2.png {3,3}	Image:Uniform polyhedron-33-t02.png (3.4.3.4)	Image:Uniform polyhedron-33-t012.png (4.6.6)	Image:Uniform polyhedron-33-s012.png (3.3.3.3.3)
Octaèdrique 4-3-2	Image:Uniform polyhedron-43-t0.png {4,3}	Image:Uniform polyhedron-43-t01.png (3.8.8)	Image:Uniform polyhedron-43-t1.png (3.4.3.4)	Image:Uniform polyhedron-43-t12.png (4.6.6)	Image:Uniform polyhedron-43-t2.png {3,4}	Image:Uniform polyhedron-43-t02.png (3.4.4.4)	Image:Uniform polyhedron-43-t012.png (4.6.8)	Image:Uniform polyhedron-43-s012.png (3.3.3.3.4)
Icosaèdrique 5-3-2	Image:Uniform polyhedron-53-t0.png {5,3}	Image:Uniform polyhedron-53-t01.png (3.10.10)	Image:Uniform polyhedron-53-t1.png (3.5.3.5)	Image:Uniform polyhedron-53-t12.png (5.6.6)	Image:Uniform polyhedron-53-t2.png {3,5}	Image:Uniform polyhedron-53-t02.png (3.4.5.4)	Image:Uniform polyhedron-53-t012.png (4.6.10)	Image:Uniform polyhedron-53-s012.png (3.3.3.3.5)
Dièdrique p-2-2 Exemple p=5	{5,2}	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	{2,5}	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5

[modifier] Définition des opérations

Image:Polyhedron truncation example3.png
Exemples de formes à partir du cube et de l'octaèdre

Opération	Étendu Symboles de Schläfli		Diagrame de Coxeter- Dynkin	Description
Parent	t₀{p,q}	$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-100.png	Polyèdre régulier quelconque ou pavage
Rectifié	t₁{p,q}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-010.png	Les arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre maintenant possède les faces combinées du parent et du dual.
Birectifié Dual	t₂{p,q}	$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-001.png	Le birectifié (dual) est une troncature plus poussée c'est à dire que les faces originales sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné à 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}.
Tronqué	t_0,1{p,q}	$t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-110.png	Chaque sommet original est découpé, avec de nouvelles faces remplissant le trou. La troncature possède un degré de liberté, qui a une solution qui créée un polyèdre uniforme tronqué. Le polyèdre a ses faces originales doublées par cotés, et contient les faces du dual. Image:Cube truncation sequence.png
Bitronqué	t_1,2{p,q}	$t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-011.png	Identique au dual tronqué.
Biseauté (ou rhombé) (développé)	t_0,2{p,q}	$r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-101.png	En ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme est à mi-chemin entre le parent et les formes duales. Image:Cube cantellation sequence.png
Omnitroncature (ou biseautage-troncature) (ou rhombi-tronqué)	t_0,1,2{p,q}	$t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-111.png	Les opérations de troncature et de biseautage sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les cotés, les faces du dual doublées sur les cotés et des carrés où les arêtes originales existaient.
Adouci	s{p,q}	$s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	Image:Dynkins-sss.png	L'adoucissement prent la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les cotés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des cotés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés.

[modifier] Formes non-convexes listées par groupes de symétrie et par arrangements de sommet

Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet.

Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres non-réguliers uniformes sont listés par leur configuration de sommet ou par l'index des polyèdre uniforme U(1-80).

Note : Pour les formes non-convexes, un descripteur supplémentaire Non-uniforme est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre-eux, mais possède des faces non-régulières. Par exemple, une forme biseautée non-uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.

[modifier] Symétrie tétraèdrique

Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non-convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une symétrie tétraèdrique. Le tétraèdre est auto-dual.

En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraèdrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non-convexes avec la symétrie octaèdrique n'est pas inclue ici.

Groupe de sommet	Convexe	Non-convexe
(Tétraèdre)	{3,3}
Tronqué (*)	(3.6.6)
Rectifié (*)	Image:Rectified tetrahedron.png {3,4}	(4.3/2.4.3)
Biseauté (*)	Image:Cantellated tetrahedron.png (3.4.3.4)
Omnitronqué (*)	Image:Omnitruncated tetrahedron.png (4.6.6)
Adouci (*)	{3,5}

[modifier] Symétrie octaèdrique

Il existe 8 formes convexes et 10 formes non-convexes avec la symétrie octaèdrique.

Groupe de sommet	Convexe	Non-convexe
(Octaèdrique)	{3,4}
Tronqué (*)	(4.6.6)
Rectifié (*)	(3.4.3.4)	(6.4/3.6.4)	(6.3/2.6.3)
Dual tronqué (*)	(3.8.8)	(4.8/3.4/3.8/5)	(8/3.3.8/3.4)	(4.3/2.4.4)
Dual (*)	{4,3}
Biseauté (*)	(3.4.4.4)	(4.8.4/3.8)	(8.3/2.8.4)	(8/3.8/3.3)
Omnitronqué (*)	(4.6.8)
Omnitronqué non-uniforme (*)	(4.6.8)	(8/3.4.6)	(8/3.6.8)
Adouci (*)	(3.3.3.3.4)

[modifier] Symétrie icosaèdrique

Il existe 8 formes convexes et 46 formes non-convexes avec la symétrie icosaèdrique (ou 47 formes non-convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non-convexes ont une symétrie chirale non-uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.

Il existe beaucoup de formes non-uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.

Groupe de sommet	Convexe	Non-convexe
(Icosaèdrique)	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{3,5/2}
Tronqué (*)	(5.6.6)
Tronqué non-uniforme (*)	(5.6.6)	U32	U37	U61	U38	U44	U56	U67	U73
Rectifié (*)	(3.5.3.5)	U49	U51	U54	U70	U71	U36	U62	U65
Dual tronqué (*)	(3.10.10)	U42	U48	U63
Dual tronqué non-uniforme (*)	(3.10.10)	U68	U72	U45
Dual (*)	{5,3}	{5/2,3}	U30	U41	U47
Biseauté (*)	(3.4.5.4)	U33	U39
Biseauté non-uniforme (*)	(3.4.5.4)	U31	U43	U50	U55	U58	U75	U64	U66
Omnitronqué (*)	(4.6.10)
Omnitronqué non-uniforme (*)	(4.6.10)	U59
Adouci (*)	(3.3.3.3.5)
Adouci non-uniforme (*)	(3.3.3.3.5)	U40	U46	U57	U69	U60	U74

[modifier] Polyèdre de Skilling

Un polyèdre non-convexe supplémentaire s'appelle le Grand dirhombidodécaèdre disadouci, aussi connu sous le nom polyèdre de Skilling, qui est de sommet uniforme, mais dont les paires d'arêtes coïncident dans l'espace telles que quatre faces se rencontrent à certains sommets. Il est quelquefois, mais pas toujours, compté comme un polyèdre uniforme. Il possède une symétrie I_h.

[modifier] Symétrie dièdrique

Il existe deux ensembles infinis de polyèdres uniformes avec la symétrie dièdrique :

Les prismes, pour chaque nombre rationnel p/q > 2, avec le groupe de symétrie D_ph;
Les antiprismes, pour chaque nombre rationnel p/q > 3/2, avec le groupe de symétrie D_pd si q est impair, D_ph si q est pair.

Si p/q est un nombre entier, i.e. si q = 1, le prisme ou l'antiprisme est convexe (la fraction est toujours supposée irréductible).

La différence entre les groupes de symétrie prismatiques et antiprismatique réside dans le fait que D_ph possède un plan de réflexion parallèle au polygone {p/q}, alors que D_pd n'en possède pas.

Un antiprisme avec p/q < 2 est croisé; sa figure de sommet ressemble à un nœud papillon. Si p/q ≤ 3/2, aucun antiprisme ne peut exister, comme sa figure de sommet violerait l'inégalité triangulaire.

Note : le cube et l'octaèdre sont listés ici avec la symétrie diédrique (en tant que prisme tétragonal et antiprisme trigonal respectivement), bien qu'étant uniformément coloré, ils ont aussi une symétrie octaèdrique.

Groupe de symétrie	Convexe	Non-convexe
d_3h	3.3.4
d_3d	3.3.3.3
d_4h	Image:Tetragonal prism.png 4.4.4
d_4d	3.3.3.4
d_5h	4.4.5	4.4.5/2	3.3.3.5/2
d_5d	3.3.3.5	3.3.3.5/3
d_6h	4.4.6
d_6d	3.3.3.6
d_7h	Image:Prism 7.png 4.4.7	4.4.7/2	4.4.7/3	Image:Antiprism 7-2.png 3.3.3.7/2	Image:Antiprism 7-4.png 3.3.3.7/4
d_7d	Image:Antiprism 7.png 3.3.3.7	Image:Antiprism 7-3.png 3.3.3.7/3
d_8h	4.4.8	Image:Prism 8-3.png 4.4.4.8/3
d_8d	3.3.3.8	3.3.3.8/3 3.3.3.8/5
d_9h	Image:Prism 9.png 4.4.9	Image:Prism 9-2.png 4.4.9/2	3.3.3.9/2	3.3.3.9/4
d_9d	3.3.3.9	3.3.3.9/5
d_10h	4.4.10	4.4.10/3
d_10d	3.3.3.10	3.3.3.10/3
d_11h	Image:Prism 11.png 4.4.11	4.4.11/2 4.4.11/3 4.4.11/4 4.4.11/5	3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6
d_11d	3.3.3.11	3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7
d_12h	4.4.12	4.4.12/5	3.3.3.12/7
d_12d	3.3.3.12	3.3.3.12/5
...

[modifier] Références

Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50 [2]
S. P. Sopov A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra. (Russian) Ukrain. Geometr. Sb. No. 8, (1970), 139-156
John Skilling, The complete set of uniform polyhedra., Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 278 (1975), 111-135 [3]
Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El [4], Kaleido software, Images, dual images
Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [5]

[modifier] Voir aussi

Polyèdre
Liste des polyèdres uniformes
Liste des patrons de polyèdre de Wenninger
Patron de polyèdre
Liste des polyèdres uniformes par image de sommet
Liste des polyèdres uniformes par symbole de Wythoff

[modifier] Liens externes

(en) Stella: Polyhedron Navigator - Logiciel pour générer et imprimer les patrons de tous les polyèdres uniformes
(en) Patrons en papier
(en) Solution uniforme pour polyèdre uniforme
(en) Les polyèdres uniformes
(en) Virtual Polyhedra Les polyèdres uniformes
(en) Eric W. Weisstein. "Uniform Polyhedron." À partir de MathWorld--A Wolfram Web Resource.
(de) Patrons en papier des polyèdres uniformes (et les autres)

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