Projecteur (mathématiques)

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En algèbre linéaire, le projecteur est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes

c'est une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante
c'est aussi un endomorphisme idempotent : il vérifie p²=p

Sommaire

1 Définition de la projection vectorielle
2 Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires
3 Symétries
4 Projecteurs orthogonaux
5 Représentation matricielle en base adaptée
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes

[modifier] Définition de la projection vectorielle

Soit F un sous-espace vectoriel de E, G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $x=x'+x'', (x',x'') \in F \times G$ . La projection p sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x' de F

$p : \left\{\begin{matrix} E &\rightarrow E\\ x &\mapsto x'\end{matrix}\right.$ .

[modifier] Propriétés

Im(p)=F :
- $\forall x \in E, p(x)=x' \in F \Rightarrow Im(p) \subset F.$
- $\forall x \in F, x=p(x) \in Im(p) \Rightarrow F \subset Im(p).$
Ker(p)=G :
- $\forall x \in E, p(x)=0 \Leftrightarrow x'=0$ et $x=x'' \in G \Rightarrow Ker(p) \subset G.$
- $\forall x \in G, p(x)=0 \Rightarrow G \subset Ker(p).$
$p\circ p = p$

[modifier] Identification des projecteurs et des projections

Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p²=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs

Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Notamment si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.

Démonstration : il est à noter qu'on fait une démonstration valable en toute dimension

les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie p(x)=0=p²(y)=p(y)=x.
tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) $x = p (x) + [x - p (x)]$

Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

[modifier] Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

[modifier] Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel $E$ est somme directe de sous espaces vectoriels $E_1,\cdots,E_n$ si et seulement si pour tout $i \in \left \{ 1,\cdots, n \right \}$ il existe des projecteurs $\pi_i : E \to E_i$ vérifiant : $Id_E = \pi_1 + \cdots + \pi_n$ et $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $i \neq j$ .

[modifier] Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

p est un projecteur si et seulement si s=2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p²=p, ou que s²=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

[modifier] Projecteurs orthogonaux

Dans un espace quadratique, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $Ker(p) = (Im(p))^\perp$ . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.