Tenseur

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Sommaire

1 Notion de tenseur
2 Généralisation : tenseur d'ordre n
3 Opérations sur les tenseurs
4 Changements de base
- 4.1 Vecteurs d'un espace à 3 dimensions
- 4.2 Matrices et applications linéaires
5 Composantes covariantes et contravariantes
- 5.1 Convention d'Einstein
- 5.2 Formes linéaires et changement de base
6 Voir aussi
- 6.1 Liens internes
- 6.2 Liens externes

[modifier] Notion de tenseur

Exemples à l'ordre 0, 1 et 2

Lorsque l'on dispose d'une base d'un espace vectoriel E sur un corps $\mathbb{K}$ , tout vecteur de cet espace peut se décrire par ses coordonnées dans cette base. De même, une application linéaire entre deux espaces vectoriels, lorsque l'on a une base de chacun de ces espaces, peut se décrire par une matrice.

Ainsi, dans une base $(\vec e_{1} ,\vec e_{2} ,\vec e_{3} )$ donnée, le vecteur $\vec u$ sera décrit par ses composantes (u₁, u₂, u₃). Si l'on change de base, les composantes (les nombres u₁, u₂ et u₃) changent, mais le vecteur $\vec u$ reste le même. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de $\vec u$ dans toutes les bases. Un vecteur est un tenseur dit « d'ordre 1 ».

Une application linéaire ƒ d'un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de ƒ dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit « d'ordre 2 ».

Un scalaire est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. On dit que le scalaire est un « tenseur d'ordre 0 ».

[modifier] Généralisation : tenseur d'ordre n

Une autre manière de voir est la suivante : une matrice M peut se noter par ses coefficients (M_ij ), ou plutôt (M_i^j ), voir plus loin — soit deux indices —, un vecteur $\vec u$ par ses composantes (u_i ) — soit un indice —, et un scalaire a simplement par lui-même — soit zéro indice. On peut envisager des objets définis avec trois, quatre, n indices (A_ijk…). Un objet défini par n indices est un tenseur d'ordre n.

Sur un espace vectoriel de dimension finie m, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 à m. Un tenseur d'ordre n sur cet espace vectoriel a donc mⁿ coefficients. Si le tenseur « relie » n espaces vectoriels de dimensions différentes m₁, m₂, … m_n , alors le tenseur contient ∏_{i = 1,…n} m_i coefficients.

Un tel tenseur d'ordre n représente une application multi-linéaire (forme n-linéaire) de $E \times E \times ... \times E$ dans $\mathbb{K}$ :

$T(\vec a~, \vec b~, ..., \vec l~) = a^i b^j ...\ l^u \ T(e_i, e_j, ..., e_u)$

On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant $T_{ij...u} = T(e_i, e_j, ..., e_u).\$

Notations

Dans les notations, $T i j k ...$ représente la composante du tenseur T de coordonnées $(i, j, k,...)$ . Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de trait que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté $\underline{u}$ plutôt que $\vec u$ , et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté $\underline{\underline{\sigma}}$ . Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur $\underline{\underline{\underline{\underline{M}}}}$ d'ordre 4, et les déformations $\underline{\underline{\epsilon}}$ et contraintes $\underline{\underline{\sigma}}$ par des tenseurs d'ordre 2.

[modifier] Opérations sur les tenseurs

Les tenseurs sont des objets mathématiques, plus complexes ques les nombres, mais avec lesquels on peut effectuer des opérations mathématiques.

On peut les multiplier par des scalaires. Ainsi, $(a \underline{\underline{e}})_{ij} = a \underline{\underline{e}}_{ij}$ .

On peut les additionner ou les soustraire, à la condition que les tenseurs soient de même ordre. Dans ce cas, $(\underline{\underline{a}}+\underline{\underline{b}})_{ij}$ = $\underline{\underline{a}}_{ij}+\underline{\underline{b}}_{ij}$ .

Il existe enfin des opérations propres entre tenseurs : le produit tensoriel et le produit contracté, qui peuvent s'effectuer entre tenseurs d'ordre différent, et dont le résultat est un tenseur encore d'un autre ordre :

Le produit tensoriel entre $A$ d'ordre n, et $B$ d'ordre p produit un tenseur d'ordre (n+p).

Quant au produit tensoriel contracté entre $A$ d'ordre n, et $B$ d'ordre p, il produit un tenseur d'ordre (n+p-2). La contraction du produit consiste en fait, par rapport au produit tensoriel, à réduire l'ordre du résultat de 2, par un équivalent de produit scalaire entre la dernière composante de $A$ et la première de $B$ . Cette analogie avec le produit scalaire est évidente lorsqu'on l'applique à des tenseurs d'ordre 1 (c'est-à-dire des vecteurs) : dans ce cas-là, le résultat est un tenseur d'ordre zéro (c'est-à-dire un scalaire) dont la valeur est justement le produit scalaire des 2 vecteurs. Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.

[modifier] Changements de base

[modifier] Vecteurs d'un espace à 3 dimensions

Dans la base $B (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ , les composantes du vecteur $\vec u$ sont (u₁, u₂, u₃). Dans la base $B' (\vec{e'}_1,\vec{e'}_2,\vec{e'}_3)$ , elles sont (u'₁, u'₂, u'₃). On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base B, les vecteurs de la base B' s'écrivent :

$\vec{e'}_{i} = e_{i1}\cdot \vec{e}_{1} + e_{i2}\cdot \vec{e}_{2} + e_{i3}\cdot \vec{e}_{3}$

Par définition d'une base, chaque vecteur $\vec{e}_{i}$ se décompose selon une combinaison linéaire unique des vecteurs de B'. On peut ainsi définir la matrice de changement de base P de B vers B' :

$P = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{21} & e_{31} \\ e_{12} & e_{22} & e_{32} \\ e_{13} & e_{23} & e_{33} \end{pmatrix}$

les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors

$(u_{1},u_{2},u_{3}) = P \cdot (u'_{1},u'_{2},u'_{3})$ et

$(u'_{1},u'_{2},u'_{3}) = P^{-1} \cdot (u_{1},u_{2},u_{3})$ .

Lorsque les deux bases B et B' sont orthonormées, P vérifie en outre

P - 1 = t P

Le changement de base se fait par multiplication d'une seule matrice de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 1.

[modifier] Matrices et applications linéaires

Une matrice M représente une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. On peut donc définir deux matrices, P₁ et P₂ pour chacun des espaces. La matrice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases se calcule donc en faisant

$M' = ^{\rm t}P_{1} \cdot M \cdot P_{2}$

Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 2.

[modifier] Composantes covariantes et contravariantes

[modifier] Convention d'Einstein

Un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exemple T_l^mn.

On adopte souvent la convention de notation d'Einstein qui consiste à sommer lorsqu'un indice se trouve en haut et en bas dans un produit, par exemple

$\sum_{j} p^{j}_{i}\cdot u_{j}$ et $\sum_{j} p^{i}_{j}\cdot f^{\ j}$

se notent respectivement

$p^{j}_{i}\cdot u_{j}$ et $p^{i}_{j}\cdot f^{\ j}$

[modifier] Formes linéaires et changement de base

Considérons un espace à trois dimensions muni d'une base non orthogonale (on va la supposer normée pour simplifier la présentation). En effet, il y a de nombreux exemples dans la nature où il y a des axes « naturels » qui ne sont pas orthogonaux, par exemples les axes de certains cristaux. En fait, lorsqu'un phénomène est anisotrope, on peut souvent trouver des axes dits « principaux » pour lesquels les calculs se simplifient, et ces axes ne sont pas toujours orthogonaux.

Considérons une forme linéaire ƒ sur cet espace, qui à un vecteur $\vec u$ associe un scalaire

$f(\vec u) = f^{1}\cdot u_{1} + f^{2}\cdot u_{2} + f^{3}\cdot u_{3}$

(les indices relatifs à la forme linéaire sont notés en haut pour permettre de les distinguer). Considérons la base $(\vec{e}^{\ *i})$ , dite « base duale », définie par

$\vec{e}^{\ *1} = \vec{e}_{2}\wedge \vec{e}_{3}$

$\vec{e}^{\ *2} = \vec{e}_{3}\wedge \vec{e}_{1}$

$\vec{e}^{\ *3} = \vec{e}_{1}\wedge \vec{e}_{2}$

on a alors

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = \delta_{i}^j$ (symbole de Kronecker)

soit

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = 1$ si

i = j

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = 0$ sinon

Si l'on définit le vecteur

$\vec{f} = f^{1} \cdot \vec{e}^{\ *1} + f^{2} \cdot \vec{e}^{\ *2} + f^{3} \cdot \vec{e}^{\ *3}$

on peut alors écrire

$f(\vec u) = \vec{f} \cdot \vec u$

La base des fonctions g ⁱ « produit scalaire par $\vec{e}^{\ *i}$ »

$g^i\ : E \rightarrow \mathbb{R}$

$\vec u \mapsto \vec{e}^{\ *i} \cdot \vec u$

est une base des formes linéaires de l'espace ; on identifie souvent cette base de fonctions (g ⁱ ) avec la base de vecteurs $(\vec{e}^{\ *i})$ elle-même. L'espace vectoriel formé par les formes linéaires est appelé « espace dual » ou « espace réciproque ».

Si l'on fait un changement de base de l'espace direct, alors les composantes du vecteur $\vec u$ se transforment selon

$u_{i} = \sum_{j} p^{j}_{i}\cdot u_{j}$

où p ^j_i est le coefficient de la matrice de changement de base (noté e_ji dans le paragraphe précédent). En revanche, les composantes de $\vec{f}$ se transforment selon

$f^{i} = \sum_{j} p^{i}_{j}\cdot f^{j}$

on voit que dans le cas du changement de la base de formes linéaires, on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans le cas du changement de la base de vecteurs, on multiplie par sa transposée.

On voit donc que l'on a deux types de composantes. D'une part des composantes de type « vecteur », notées avec un indice en bas (par exemple u_i ), obtenues par projection du vecteur sur les axes parallèlement aux autres axes, et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la transposée de la matrice de changement de base (P). Ces composantes sont dites covariantes.

D'autre part des composantes de type « forme linéaire », notées avec un indice en haut (par exemple ƒⁱ ), obtenues par projection sur les axes perpendiculairement aux axes ( $\vec{e}^{\ *2}$ et $\vec{e}^{\ *3}$ sont perpendiculaires à $\vec{e}_{1}$ ), et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la matrice « directe » de changement de base (P). Ces composantes sont dites contravariantes.

D'après la formule de changement de base des matrices, on voit que celles-ci sont une fois covariantes, une fois contravariantes, on devrait donc noter M_i ^j. Toutefois, on n'utilise que rarement cette notation tensorielle pour les matrices.