Tenseur de Ricci

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[modifier] Construction mathématique

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'un réduction d'indices du tenseur.

Il peut s'exprimer notamment à partir des coefficients de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein^[1].

Les coefficients de Christoffel s'expriment : ${\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} - \partial_{\delta}g_{\alpha\beta})$

Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire d'une ligne droite de l'espace courbe (le chemin le plus court), qui vérifie :

$\frac{d^2x^\alpha}{ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{ds}\frac{dx^\gamma}{ds}=0$

Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel :

${R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} - \partial_{\beta} {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} + {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} - {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma}$

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction : $R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\beta\gamma}$

Par la suite, le scalaire de courbure se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :

$R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}^{}$

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R$ est nulle :

$\left[R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0$

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

[modifier] Note

↑ Cette convention stipule que les indices répétés seront des indices de sommation : $x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x_{\mu}x^{\mu}$

[modifier] Voir aussi

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