Tenseur énergie-impulsion

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant la relativité, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Articles scientifiques
sur les tenseurs

Mathématiques

Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux algèbres
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel

Physique

Convention d'Einstein
Tenseur
Tenseur de courbure
Tenseur de Ricci
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur métrique

[modifier] Tenseur énergie-impulsion

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

$T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

T₀₀ est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
T₁₀, T₂₀, T₃₀ sont les densités de moments.
T₀₁, T₀₂, T₀₃ sont les flux d'énergie.
La sous-matrice 3 x 3 des composantes spatiale-spatiale :

$T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

[modifier] Construction

Pour une théorie décrite par une densité lagrangiennne $\mathcal{L}$ , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

$S \ = \ \int d^4x \ \sqrt{g} \ \mathcal{L}$

où $g = \mathrm{det} \ g_{\mu \nu}$ est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

$T_{\mu \nu} \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$

[modifier] Exemples

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,p,p,p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.