Tourbillon (physique)

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Translation simple à gauche, rotation à droite menant à du tourbillon

Le tourbillon, parfois appelé vorticité (du latin vortex), est une formulation mathématique de la dynamique des fluides relié à la quantité de vitesse angulaire ou de rotation que subit un fluide localement. Une façon simple de visualiser le tourbillon est de considérer un fluide en mouvement dans lequel on délimite un petit volume rigide. Si cette parcelle tourne par rapport à un référentiel au lieu de translater, elle tourbillonne.

[modifier] Dynamique des fluides

En dynamique des fluides, le tourbillon est le rotationnel de la vitesse du fluide. On peut également le considérer comme la circulation par unité de surface en un point dans un flux :

${\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec V = \vec \nabla \times \vec V = \begin{pmatrix} {\partial V_z / \partial y} - {\partial V_y / \partial z} \\ {\partial V_x / \partial z} - {\partial V_z / \partial x}\\ {\partial V_y / \partial x} - {\partial V_x / \partial y} \end{pmatrix}$

où $\vec V$ est le vecteur tri-dimensionnel de vitesse selon les coordonnées x, y et z et $\vec\nabla$ l'opérateur nabla.

C'est une quantité vectorielle dont la direction est le long de l'axe de rotation du fluide. Ainsi, pour un flux à deux dimensions quelconque (a et b), le vecteur de tourbillon se retrouve dans l'axe perpendiculaire au plan de rotation (c) et l'équation se réduit à :

$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \vec V_{ab} = \vec \nabla \times \vec V_{ab} = \left( \frac{\partial V_b}{\partial a} - \frac{\partial V_a}{\partial b} \right) \vec c$

On retrouve différents théorèmes reliés au tourbillon en physique.

[modifier] Météorologie

En météorologie, le tourbillon est une propriété importante du comportement de l'atmosphère à grande échelle. Comme la circulation atmosphérique est surtout horizontale, le vecteur de tourbillon est généralement vertical. Donc si on reprend la formulation précédente, on obtient le tourbillon relatif en un point au-dessus de la Terre ( $V r$ pour vitesse relative) :

$\zeta=\frac{\partial v_r}{\partial x} - \frac{\partial u_r}{\partial y}$

Cette expression ne tient cependant pas compte du mouvement du référentiel qu'est la Terre. En effet, cette dernière est en rotation elle-même dans l'espace et nous devons ajouter la rotation induite par la force de Coriolis pour obtenir le tourbillon absolu ( $V a$ pour vitesse absolue) :

$\eta=\frac{\partial v_a}{\partial x} - \frac{\partial u_a}{\partial y}$

si on dénote f comme le facteur de Coriolis :

$\eta=\frac{\partial v_r}{\partial x} - \frac{\partial u_r}{\partial y} + f = \zeta + f \qquad \qquad$

où $f = 2Ωsinφ$ pour un déplacement horizontal, avec $φ$ la latitude.

Dans l'hémisphère nord, le tourbillon est positif pour une rotation anti-horaire (cyclonique) et négative pour une rotation horaire (anti-cyclonique). C'est l'opposé dans l'hémisphère sud.

Le tourbillon en un point de l'atmosphère n'est pas conservatif en lui-même car l'épaisseur de la couche d'air peut être étirée ou compressée par le mouvement de l'air (ex. passage au-dessus d'une montagne). Cependant, le tourbillon total dans la colonne d'air est lui conservateur et on le nomme toubillon potentiel. En effet, en général l'air subit une compression ou décompression adiabatique, l'entropie est conservée et le tourbillon total de la colonne ne changera pas. Le tourbillon potentiel devient donc une façon de suivre les mouvements verticaux dans une masse d'air avec température potentielle constante.

En météorologie, l'une des approximations est celle de l'atmosphère barotropique où il n'y a pas de variation de température dans une masse d'air. L'équation de tourbillon barotropique est donc une façon simple de prévoir le déplacement des creux et crête d'onde longue à une hauteur de 50 kPa. Dans les années 1950, le premier programme de prévision numérique du temps utilisa cette équation.

[modifier] Autres utilisations

Le tourbillon est important dans d'autres domaines que la dynamique des fluides. Par exemple, la distribution de la portance sur une aile d'avion peut être approximée en prenant pour hypothèse que chaque segment de l'aile a un tourbillon semi-infini de traînée. Il est alors possible de résoudre ensuite la force de ces tourbillons en utilisant le critère qu'il n'y a pas de flux induits à travers l'aile. On additionne ensuite tous les résultats pour trouver la circulation autour de l'aile et la portance est le produit de la circulation, de la vitesse de l'air et de sa densité.

[modifier] Bibliographie

(en) Batchelor, G. K., (1967, reprinted 2000) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
(en) Ohkitani, K., "Elementary Account Of Vorticity And Related Equations". Cambridge University Press. January 30, 2005. ISBN 0521819849
(en) Chorin, Alexandre J., "Vorticity and Turbulence". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0387941975
(en) Majda, Andrew J., Andrea L. Bertozzi, and D. G. Crighton, "Vorticity and Incompressible Flow". Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0521639484
(en) Tritton, D. J., "Physical Fluid Dynamics". Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0198544936
(en) Arfken, G., "Mathematical Methods for Physicists", 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0120598205

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