התפלגות פואסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

התפלגות פואסון
פונקציית צפיפות ההסתברות

פונקציית ההסתברות המצטברת

מאפיינים
פרמטרים	$\ \lambda \in (0,\inf)$
תומך	$\ k \in \{0,1,2,\ldots\}$
פונקציית צפיפות ההסתברות (pdf)	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
תוחלת (ממוצע)	$\ \lambda$
חציון	לרוב בסביבות $\lfloor\lambda+1/3-0.2/\lambda\rfloor$
ערך שכיח	$\lfloor\lambda\rfloor$
שוֹ‏נוּ‏ת	$\ \lambda$
סטיית תקן	$\ \sqrt{\lambda}$
אנטרופיה	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
צידוד	$\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$
גבנוניות	$\frac{1}{\lambda}$

בתורת ההסתברות, התפלגות פואסון (Poisson distribution) היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד, הקרויה על שם המדען הצרפתי סימאון דני פואסון (1781-1840).

כמו התפלגויות חשובות אחרות, 'התפלגות פואסון' היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, המסומן בדרך כלל באות $\ \lambda$ . הפרמטר יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי. התפלגות זו מתקבלת כאשר סופרים אירועים נדירים שמתרחשים בפרק זמן קבוע. היא מתקבלת מהתפלגות בינומית כאשר המכפלה של מספר הניסויים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל- $\ \lambda$ ), ומספר הניסויים שואף לאינסוף. המשמעות של הפרמטר $\ \lambda$ הוא מספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה.

אם X הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים שלמים אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך k היא:

$P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ .

התוחלת והשונות של משתנה מקרי פואסוני שתיהן $\ \lambda$ . דבר המתאים למשמעות של הפרמטר $\ \lambda$ .

להתפלגות פואסון חשיבות רבה בתורת התורים. אם מניחים שלקוחות נוספים לתור באופן בלתי תלוי זה בזה, מתברר שזמן ההמתנה בין לקוח ללקוח הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר הלקוחות שנוספים לתור מדי שעה מתפלג פואסונית. התפלגויות אלו מאפיינות זו את זו: זמן ההמתנה בין הופעות בהתפלגות פואסון הוא מעריכי, ומספר ההופעות בזמן קבוע של תופעות שזמן ההמתנה ביניהן מעריכי (עם פרמטר קבוע), הוא פואסוני.

[עריכה] הופעות של התפלגות פואסונית

התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור תופעות רבות בעלות טבע בדיד (כלומר, שיכולות להתרחש 0,1,2 וכו' פעמים במשך פרק זמן מסוים, אבל לא מספר שאינו שלם של פעמים), כאשר ההסתברות שהתופעה תתרחש היא קבועה. דוגמאות:

מספר האטומים שמתפרקים בפרק זמן נתון בחומר רדיואקטיבי.
מספר המכוניות שעוברות דרך נקודה מסוימית בכביש בפרק זמן מסוים.
מספר שיחות הטלפון במרכז תמיכה בדקה.
מספר הגישות לשרת רשת בדקה.
מספר העריכות בשעה שמתבצעות בויקיפדיה.
מספר החיות הדרוסות שנמצאות ביחידת כביש נתונה.
מספר המוטציות במקטע DNA לאחר חשיפה מסוימת לקרינה.
מספר עצי האלון ביחידת שטח של יער.
מספר הכוכבים בחלק מסוים מהחלל.
מספר החיילים שנהרגו על ידי בעיטות סוסים בכל שנה בחיל הפרשים הפרוסי.

[עריכה] הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות בינומית

כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור התפלגות בינומית שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, והסיכוי להצלחה בכל ניסוי שואף לאפס, כך שמכפלתם נשארת קבועה. נראה זאת כאן פורמלית.

נניח כי $\ \lambda$ הוא הפרמטר של התפלגות הפואסון שלנו. לכל $\ n$ טבעי נביט בהתפלגות הבינומית על $\ n$ ניסויים והסתברות של $\ \frac{\lambda}{n}$ להצלחה: $\ X\sim Bin\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$ . נראה כי עבור $\ n$ גדול דיו, $\ X$ מתפלג בצורה שהיא קרובה כרצוננו להתפלגות פואסון.

בצורה פורמלית, נראה כי: $\ \lim_{n\to\infty}P(X=k)=P(Y=k)$ כאשר $\ Y\sim Poisson(\lambda)$ .

כעת, מתקיים:

$\lim_{n\to\infty} P(X=k)=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} =$

$=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}=$

$=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!n^k} \left({\lambda^k \over k!}\right) \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{-k}$

קיבלנו גבול של מכפלה. עבור המכפלות מתקיים:

$\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!n^k} =1$ כי קיבלנו פונקציה רציונלית עבורה החזקה הגבוהה ביותר הן במונה והן במכנה זהה.

$\lim_{n\to\infty}\left({\lambda^k \over k!}\right) =\left({\lambda^k \over k!}\right)$ כי ביטוי זה לא תלוי ב- $\ n$ .

$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{n}=e^{-\lambda}$ - זוהי זהות מחשבון אינפיניטסימלי.

$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{-k}=1$ כי החזקה אינה תלויה ב- $\ n$ , והביטוי שבתוך הסוגריים בבירור שואף ל-1.

לכן קיבלנו את הגבול $\ \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ וזוהי בדיוק ההגדרה של התפלגות פואסון.

התפלגויות

אחידה - נורמלית (גאוסית) - בינומית - מעריכית - פואסון - גאומטרית - היפרגאומטרית- ברנולי - מקסוול-בולצמן - בוז-איינשטיין - פרמי-דיראק

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%94/%D7%AA/%D7%A4/%D7%94%D7%AA%D7%A4%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%90%D7%A1%D7%95%D7%9F.html

קטגוריה: תורת ההסתברות

התפלגות פואסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הופעות של התפלגות פואסונית

[עריכה] הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות בינומית

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות