גבול של סדרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטיסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה. מושג זה, יחד עם התחולה הרחבה יותר של רעיון הגבול, מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים, "בסופו של דבר". סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת.

באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה שאבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה.

[עריכה] גבול של סדרה

אינטואיטיבית, ניתן לדבר על גבול של סדרה אינסופית של מספרים בצורה זו: מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אל המספר הזה. אולם, הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית, שכן היא אינה מסבירה מה הכוונה ב"הולכים ומתקרבים". הגדרה מדויקת יותר תדרוש כי עבור כל מרחק מהגבול, ניתן למצוא איבר בסדרה שהחל ממנו מרחקם של כל אברי הסדרה מהגבול קטן ממרחק זה. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי, שיכול להיות גדול מאוד, כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו אינדקס נמצאים לכל היותר במרחק זה מהגבול. על גבי הישר הממשי, המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של הפרשם, ועל כן משתמשים בו בהגדרה המתמטית.

הגדרה: תהא $\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי $\!\,L$ , או ש- $\ L$ הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת $\lim_{n \to \infty}a_n=L$ או בקיצור $\ a_n\to L$ אם לכל מספר ממשי $\ \varepsilon > 0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $\ N_0$ כך שלכל $\ n$ המקיים $\ n>N_{0}$ מתקיים $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$ .

כיוון שעד $\ N_0$ יש רק מספר סופי של אינדקסים אפשר לאמר שעבור כל $\varepsilon$ כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- $\varepsilon$ מהגבול- כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.

[עריכה] הגבול כאופרטור

בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב- $\ \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת $\ (a_1,a_2,\dots)$ , את גבולה $\ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ , שהוא מספר ממשי. האופרטור מכבד את פעולות החיבור, הכפל, והכפל בסקלר, ובכך הוא מהווה הומומורפיזם של אלגברות:

$\ \lim_{n\rightarrow \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n+\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$
$\ \lim_{n\rightarrow \infty}(a_nb_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$
$\ \lim_{n\rightarrow \infty}(\alpha b_n)=\alpha\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$

בנוסף לזה, אם גבולה של הסדרה $\ (b_1,b_2,\dots)$ אינו אפס, אז מתקיים גם

$\ \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}$ .

[עריכה] מושגים קרובים

כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים. ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב".

גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית. אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון.

[עריכה] ראו גם

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה