משוואה ממעלה שלישית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה $\ x^3 + a x^2 + b x + c = 0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ- 3, אפשר להציב $\ x=y-a/3$ ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של $\ y^2$ הוא אפס.

[עריכה] היסטוריה

בעוד שאת המשוואה ממעלה שנייה ידעו לפתור היוונים (וכנראה גם הבבלים), פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית לא היה ידוע עד תחילת המאה ה-16. המתמטיקאים באותו זמן עדיין לא 'הכירו' במספרים שליליים, וכך הם התייחסו למשוואות $\ x^3 + p x + q = 0$ או $\ x^3 + p x = q$ (כאשר $\ p,q$ שלמים חיוביים) כאל בעיות נבדלות.

ב-1515 גילה המתמטיקאי האיטלקי שיפונה דל פרו איך לפתור חלק מן המשוואות ממעלה שלישית. באותה תקופה היו מתמטיקאים מתחרים זה בזה בפתרון משוואות, ולכן הסתיר דל פרו את הפתרון שלו. ב-1535 גילה האיטלקי טרטליה מחדש את אותם פתרונות וסיפר עליהם לג'רולאמו קארדאנו, שהשלים את המקרים החסרים ופרסם אותם בספר. את המשוואה ממעלה רביעית הצליחו לפתור זמן קצר אחר-כך, ב-1545.

פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית היה ההישג האמיתי הראשון של המתמטיקאים בראשית תקופת הרנסאנס, ובכך הוא סייע לשבור את ה'שיתוק' שאחז בהם מאז תחילת ימי הביניים. בנוסף, פתרונו של קרדנו 'אילץ' את המתמטיקאים להתייחס ברצינות למספרים המרוכבים, משום שפתרונות 'אמיתיים' (דהיינו, ממשיים) מתקבלים לפעמים תוך מניפולציות של מספרים מרוכבים.

[עריכה] פתרון משוואה ממעלה שלישית

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של $\ x^2$ במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה $\ x^3 + p x + q = 0$ (כאשר $p, q$ הם מקדמים כלשהם בשדה, ללא שום הנחות על היותם חיוביים). אם נכתוב $\ x=\beta+\gamma$ , אז $\ x^3=\beta^3+\gamma^3+3\beta\gamma(\beta+\gamma) = \beta^3+\gamma^3+3\beta\gamma x$ . נציב זאת במשוואה: $\ \beta^3+\gamma^3+(3\beta\gamma+p)x +q = 0$ . כאן החלפנו משתנה אחד (x) בשניים ( $\ \beta$ ו- $\ \gamma$ ), ולכן מותר להוסיף אילוץ חדש. אם נניח ש- $\ 3\beta\gamma=-p$ , המשוואה תהפוך להיות $\ \beta^3+\gamma^3=-q$ . אבל מן האילוץ יוצא $\ \beta^3\gamma^3=-p^3/27$ , כלומר שגם הסכום וגם המכפלה של $\ \beta^3$ ו- $\ \gamma^3$ ידועים. מן הסכום והמכפלה קל להרכיב משוואה ממעלה שנייה, שפתרונותיה הם $\ \beta^3$ ו- $\ \gamma^3$ . על-ידי הוצאת שורש שלישי אפשר למצוא את $\ \beta$ , ומן האילוץ מקבלים גם את $\ \gamma$ ולכן את סכומם $x$ .

[עריכה] דוגמה

נפתור את המשוואה $\ y^3-6y^2-67y+360=0$ . כדי להפטר מן המקדם של $\ y^2$ , נציב $\ x=y-2$ , כלומר $\ y=x+2$ . המשוואה הופכת להיות $\ x^3-79x+210=0$ . נכתוב $\ x=\beta+\gamma$ , כאשר $\ \gamma = 79/(3\beta)$ , והמשוואה תהפוך ל- $\ \beta^6+210\beta^3+(79/3)^3=0$ . זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם $\ \beta^3=-105\pm \frac{442}{9}\sqrt{-3}$ . למעשה, מכיוון שהתפקידים של $\ \beta$ ו- $\ \gamma$ סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש- $\ \beta^3=-105 + \frac{442}{9}\sqrt{-3}$ (ואז $\ \gamma^3=-105 - \frac{442}{9}\sqrt{-3}$ ). כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של $\ \beta = \sqrt[3]{-105 + \frac{442}{9}\sqrt{-3}}$ יש לחשב את $\ \gamma = 79/(3\beta)$ , ומתקבל פתרון $\ x=\beta+\gamma$ של המשוואה. הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; שלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם $\ x=-10,3,7$ (ולמשוואה המקורית $\ y=-8,5,9$ ).

[עריכה] הרחבת שדות על-ידי פולינום ממעלה שלישית

נניח ששדה הבסיס F כולל שורשי יחידה מסדר 3. חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה $\ A_3$ של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים לינאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.

אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

שבתאי אונגורו, מבוא לתולדות המתמטיקה (בשני חלקים), הוצאת האוניברסיטה המשודרת, 1989.
An Introduction to the Theory of Groups, J.J.Rotman, פרק 5, הוצאת Springer-Verlag.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%95/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A2%D7%9C%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99%D7%AA.html

קטגוריה: אלגברה