שורשי יחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, השורש ה-n-י של 1 הוא מספר מרוכב הנמצא על מעגל היחידה. כאשר מסתכלים על שורשי היחידה כנקודות במישור גאוס, הנקודות הן הקודקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות.

[עריכה] הגדרה

המספרים המרוכבים z שפותרים את המשוואה: $z^n = 1 \qquad (n \in \mathbb{N}_0)$ . עבור n נתון נקראים השורשים ה-n-ים של 1, או שורשי היחידה מסדר n. ישנם n שורשים שונים לכל n.

ניתן להציג את שורשי היחידה בעזרת נוסחת אוילר בצורה הבאה:

$e^{2 \pi i k/n} \qquad (k,n \in \mathbb{N}_0 \mbox{ and } k < n)$ .

שורש n פרמיטיבי של 1 הוא מספר שבנוסף מקיים את התנאי: $\ (k,n)=1$ , כלומר ש k ו-n שבנוסחה זרים. פונקציית אוילר, $\ \phi (n)$ , מוצאת את מספר האיברים k שזרים ל-n נתון, ולכן ישנם $\ \phi (n)$ שורשים n פרמיטיביים של 1 שונים.

שורשי היחידה ה-n-ים יוצרים חבורה ציקלית, מסדר n תחת פעולת הכפל המרוכב, כאשר שורשים n-פרמיטיביים של 1 הם היוצרים של החבורה.

[עריכה] דוגמאות

שורשי היחידה מסדר 3 הם:

$\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\,$ .

ושורשי היחידה הפרמיטיביים מסדר 3:

$\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\,$ .

שורשי היחידה מסדר 4 הם:

$\left\{ 1, +i, -1, -i \right\}\,$ .

כאשר הפרמיטיביים מתוכם הם:

$\left\{ +i, -i \right\}\,$ .

[עריכה] הפולינום הציקלוטומי

השורשים ה-n-ים של 1 הינם השורשים של הפולינום $\ p(x)=x^n-1$ .

השורשים ה-n פרמיטיביים של 1 הם השורשים של הפולינום הציקלוטומי מסדר n:

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(X-z_k)\;$

כאשר $\ z_1,...,z_{\phi(n)}$ הם השורשים ה-n פרמיטיביים של 1. משפט מפתיע טוען שהמקדמים של הפולינום הציקלוטומי הם שלמים.

בעזרת תורת גלואה מוכיחים שהפולינום הציקלוטומי מסדר n הוא הפולינום המינימלי של שורש n פרמיטיבי של 1, $\ z_n$ , מעל השדה $\ \mathbb{Q}$ . כלומר $\ \Phi_n(X)$ פולינום אי פריק מדרגה מינימלית מעל $\ \mathbb{Q}$ שמאפס את $\ z_n$ .

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרמיטיבי של 1 עבור בדיוק מחלק אחד של n. כתוצאה מכך נובע:

$X^n - 1 = \prod_{d\,\mid\,n} \Phi_d(X)\;$ .

הנוסחה מציגה את הפולינום $\ x^n-1$ כמכפלה של פולינומים בלתי פריקים. בנוסף לכך ניתן, בעזרת הנוסחה, לחשב באופן רקורסיבי את הפולינומים הציקלוטומים.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם:

Φ₁(X) = X − 1

Φ₂(X) = X + 1

Φ₃(X) = X² + X + 1

Φ₄(X) = X² + 1

Φ₅(X) = X⁴ + X³ + X² + X + 1

Φ₆(X) = X² − X + 1

באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ובנוסף לכך:

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

כאשר מרחיבים את $\ \mathbb{Q}$ בעזרת $\ z_n$ , מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, $\ F_n$ . השדה ה-n ציקלוטומי מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של $\ \Phi_n(X)$ מעל $\ \mathbb{Q}$ . הרחבת השדות $\ F_n/\mathbb{Q}$ היא מדרגה $\ \phi (n)$ .