נקודה צפה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
נקודה צפה (floating-point) היא שיטת ייצוג למספרים רציונליים. שימושיה העיקריים של הנקודה הצפה הם ייצוג ספרתי של מספרים רציונליים, של קירוב למספרים ממשיים ושל אוסף מספרים מתוך טווח רחב. השיטה יעילה גם לרישום מספרים ארוכים. שיטת הנקודה הצפה היא שיטה מקובלת לייצוג מספרים במחשב.
תוכן עניינים |
[עריכה] ייצוג בנקודה צפה
מספר רציונלי מיוצג בשיטת הנקודה הצפה על ידי מכפלת מספר שלם או שבר, הנקרא מנטיסה בבסיס בחזקת מעריך.
המספר a מיוצג כ- a = m × be כאשר:
- m היא המנטיסה. המנטיסה מיוצגת בדרך כלל באמצעות שבר בשיטת הנקודה הקבועה, אך היא יכולה להיות גם שלם.
- b הוא הבסיס. הבסיס הוא מספר שלם קבוע, ואינו חלק מהייצוג המסוים של a, אלא חלק מאופן הייצוג. מקובל להשתמש בבסיס 2 עבור מחשבים ובבסיס 10 עבור הצגה אנושית טבעית.
- e הוא המעריך (אקספוננט). המעריך מיוצג באמצעות מספר שלם.
לפי תקן ה-IEEE קיימים ערכים מיוחדים כגון אינסוף ו-NaN (לא מספר - Not A Number). לא בכל המחשבים מיוצגים ערכים אלו באותה צורה בינארית. לרוב, גם האפס מיוצג כערך מיוחד, מכיוון שהוא המספר היחיד בעל מנטיסה 0, ולכן אין הכרח לאפשר ערך 0 בייצוג המנטיסה. לעתים קיימים שני ערכים: 0+ ו 0-.
אופן ייצוג מסוים בנקודה צפה מורכב, אם כן, מבסיס שלם, מאופנים לייצוג המנטיסה והמעריך ומאוסף ערכים מיוחדים.
דוגמאות:
- 1012 × 1.78 = 1,780,000,000,000
- 10-12 × 1.78 = 0.00000000000178
- 241 × 0.38 = 835,628,837,109.76
- 101 × 4.8 = 48
- 25 × 1.5 = 48
[עריכה] בעיות בייצוג נקודה צפה
[עריכה] אי-דיוק ושגיאות עיגול
אחת הבעיות המרכזיות של שיטת הנקודה הצפה היא אי-דיוק. למשל, המספר 0.1 לא יכול להיות מיוצג באופן מדויק לפי בסיס 2 (בעיה זו קיימת גם בייצוג בשיטת הנקודה הקבועה בבסיס 2). המספרים שלא ניתנים לייצוג מדויק מיוצגים בעזרת עיגול. בניגוד לשיטת הנקודה הקבועה, שם שגיאת העיגול הגדולה ביותר קבועה, שגיאת העיגול בשיטת הנקודה הצפה גדלה ככל שהמעריך גדל וערכה הוא המנטיסה הקטנה ביותר שניתנת לייצוג כפול הבסיס בחזקת המעריך. כדי להקטין ככל האפשר את שגיאת העיגול יש להקטין את המעריך לקטן ביותר האפשרי. ייצוג בנקודה צפה בעזרת המעריך הקטן ביותר האפשרי באופן הייצוג המסוים נקרא מנורמל. בדרך כלל אופן הייצוג של המנטיסה מאפשר רק ייצוג מנורמל.
מידת אי-הדיוק עלולה לגדול ככל שמבוצעות פעולות נוספות על המספר.
[עריכה] ספיגה
תוצאת פעולה בין מספר גדול מאוד ומספר קטן מאוד יכולה להיות שונה מהמספר הגדול מאוד בפחות מרמת אי-הדיוק. למשל, ייתכן שבאופן ייצוג מסוים 1099 = 1 + 1099. במקרה כזה, המספר הגדול "סופג" את המספר הקטן לתוכו.
תכונה זו גורמת לכך שתכונות אריתמטיות מוכרות כגון חוק הקיבוץ וחוק הפילוג לא תקפות בייצוג בנקודה צפה. לכן, ישנה חשיבות לסדר הפעולות, ושני ביטויים זהים לכאורה יפיקו תוצאות שונות. למשל, 1 = 1 + (1099 - 1099) לעומת 0 = (1 + 1099) - 1099.
[עריכה] גלישה וחמיקה
פעולה על מספרים בנקודה צפה עלולים לגרום לגלישה (overflow) אם מעריך התוצאה גדול מהניתן לייצוג. במקרה כזה, התוצאה תהיה בדרך כלל אינסוף (חיובי או שלילי).
כאשר תוצאת פעולה על מספרים בנקודה צפה היא בעלת מעריך קטן מהניתן לייצוג נגרמת חמיקה (underflow). במקרה כזה, התוצאה תהיה סימון מיוחד למספר שונה מ-0 אבל קטן (אם חיובי) או גדול (אם שלילי) מכל מספר חיובי או שלילי אחר.
[עריכה] פעולה לא חוקית
כאשר מבוצעת פעולה לא חוקית, למשל שורש ריבועי של מספר שלילי, התוצאה תהיה NaN לפי תקן ה IEEE.
[עריכה] נקודה צפה במחשב
בזכות האפשרות לייצוג מספרים באופן ספרתי, שיטת הנקודה הצפה היא שיטה מקובלת לייצוג מספרים במחשב (בנוסף לייצוג מספרים בנקודה קבועה). מרבית המחשבים המודרנים ממשים את תקן IEEE 754 לייצוג בנקודה צפה.
יתרונו העיקרי של ייצוג בנקודה צפה על-פני ייצוג בנקודה קבועה הוא היכולת לייצג טווח רחב הרבה יותר של מספרים (בגודל נתון של מילה), הנחוץ בחישובים במספרים גדולים מאוד. במחשב "גולם א", למשל, היה גודל מילה גדול במיוחד של 75 סיביות, והחומרה ביצעה חישובים בשיטת נקודה צפה, שבה סיבית אחת לסימן, 10 סיביות למעריך ו־64 סיביות למנטיסה. 10 סיביות למעריך פירושן ייצוג של מספרים שגודלם עד 21024 × 263, לעומת ייצוג מספרים שגודלם עד 274 בלבד בייצוג בנקודה קבועה.
חישובים במחשבי-על נעשים בדרך כלל באריתמטיקה של נקודה צפה, ולכן מהירותם של מחשבי-על נמדדת ב-FLOPS (קיצור של floating point operations per second).
