בסיס בינארי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שיטות ספירה
ספרות ערביות: ספרות ערביות מערביות ספרות ערביות מזרחיות ארמניות \| בבליות \| ברהאמיניות \| אטרוסקיות \| עבריות \| חמר \| יווניות \| יווניות אטיקות \| יפניות \| מאיה \| מצריות \| סיניות \| קוראניות \| קיריליות \| רומיות
בסיס
בסיס 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 20, 24, 26, 27, 30, 32, 36, 60, 64

ספירה על בסיס בינארי היא ספירה לפי בסיס 2. היא פותחה במקור על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ במאה ה-17. היא משמשת כיום בעיקר בתחום מדעי המחשב- זאת מכיוון שבמחשב יש שני מצבים לכל ספרה - 0 (כבוי) ו-1 (דולק) (להרחבה בנדון ראה ערך לוגיקה בוליאנית).

כאמור, סימניה של הספירה הבינארית הם 0 ו-1 כלומר, כל המספרים הבינארים מורכבים מהספרות 0 ו-1. זאת בניגוד לסימני הספירה העשרונית המקובלת כיום בעולם שסימניה (ספרותיה) הם: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. דוגמאות למספרים בינארים:

$\!\, 0,1,00011,10000,11111,101010$

כמובן שמספרים אלו נראים כמספרים "רגילים" (כאלו שאנו מכירים בחיי היומיום שלנו), אך אלו גם יכולים להתפרש כמספרים בשיטת הספירה הבינארית.

תוכן עניינים

1 מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים
2 מעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים
3 שיטה נוספת למעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים
4 טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים

בסיס הספירה העשרונית הוא 10, משום שלספירה זו 10 סימנים.
פירוק מספר עשרוני:

$\!\, 1452=1\cdot1000+4\cdot100+5\cdot10+2=1\cdot10^3+4\cdot10^2+5\cdot10^1+2\cdot10^0$

אנו רואים כי הבסיס המשותף לכל האיברים הוא 10. בסיס הספירה הבינארית הוא 2 (לספירה זו שני סימנים), לכן נפרק את המספר הבינארי הבא בהתאם לפירוק המספר המספר העשרוני:

$\!\, 1101 = 1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0= 8+4+0+1=13$

מכאן שהמספר 1101 בספירה בינארית שקול למספר 13 בספירה עשרונית.
לכן נציג נוסחה כללית, למעבר מספרה המוצגת בבסיס בינארי לבסיס עשרוני (באגף השמאלי מופיע המספר הבינארי, ומימין פישוטו למספר עשרוני):

$\!\, a_1a_2a_3...a_n = a_1\cdot2^{n-1} + a_2\cdot2^{n-2} + a_3\cdot2^{n-3} +... + a_n\cdot2^0$

[עריכה] מעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

המעבר מהמספר העשרוני למספר הבינארי יתבצע באמצעות הרכבה של המספר העשרוני על ידי חזקות בעלות בסיס 2 וסידורם בסדר כרונולוגי. מהלך המעבר בין מספר עשרוני למספר בינארי: ניקח כדוגמה את המספר 73. לכתחילה נמצא את החזקה על בסיס 2 הקרובה הקטנה ביותר למספר. החזקה הקטנה ביותר המתאימה היא: $\!\, 2^6=64$ כדי להגיע למספר 73 נצטרך להוסיף עוד חזקות בעלות בסיס 2. נבדוק אם $\!\, 2^5$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96 > 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\!\, 2^4$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^4 = 64 + 16 = 80 > 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\!\, 2^3$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^3 = 64 + 8 = 72 < 73$

המספר 72 קטן מהמספר 73, לכן החזקה $\!\, 2^3$ מתאימה לנו. כדי להגיע מ-72 ל-73 נצטרך להוסיף עוד מספר. ברור כי $\!\, 2^2$ ו- $\!\, 2^1$ לא יתאימו לנו, אבל $\!\, 2^0=1$ יתאים לנו. ולכן פירוק המספר 73 לחזקות בעלות בסיס 2 הוא: $\!\, 73 = 2^6 + 2^3 + 2^0$
כדי להגיע למספר הבינארי המתאים, נוסיף את החזקות החסרות בין החזקות הללו:

$\!\, 73 = 1\cdot2^6 + 0\cdot2^5 + 0\cdot2^4 + 1\cdot2^3 +0\cdot2^2 +0\cdot2^1+ 1\cdot2^0$

כלומר, חזקות שהשתמשנו בהן, הוכפלו ב-1 וחזקות שלא השתמשנו בהם, הוכפלו ב-0. המספר הבינארי שלנו מורכב מהמקדמים של מספרי החזקות. מכאן ש-73 בספירה בינארית הוא: $\!\, 1001001$

[עריכה] שיטה נוספת למעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

שיטה נוספת, וקלה יותר,להמרת מספרים מבסיס עשרוני לבסיס בינארי מתבצעת על ידי חלוקה חוזרת של המספר העשרוני ב-2 ובדיקת השארית.

נדגים את השיטה:
כדי להמיר את המספר העשרוני 75 לבסיס בינארי נחלק אותו ב-2.
התוצאה תהיה 37 ושארית של 1 (שהרי 37x2 + 1 = 75).
משמעות השארית 1 היא שבבסיס בינארי הספרה הימנית ביותר היא 1.
נמשיך ונחלק את התוצאה 37 ב-2.
קיבלנו 18 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 11.
נמשיך ונחלק את התוצאה 18 ב-2.
קיבלנו 9 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 011.
נמשיך ונחלק את התוצאה 9 ב-2.
קיבלנו 4 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1011.
נמשיך ונחלק את התוצאה 4 ב-2.
קיבלנו 2 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 01011.
נמשיך ונחלק את התוצאה 2 ב-2.
קיבלנו 1 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 001011.
נמשיך ונחלק את התוצאה 1 ב-2.
קיבלנו 0 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1001011.

למעשה, כעת ניתן להמשיך ולחלק את 0 ב-2 אינספור פעמים אך התוצאה תמיד תשאר אפס ושארית אפס.
ולכן זהו המספר הסופי בבסיס בינארי: 1001011

(אם נמשיך את החלוקה ב-2 נקבל מספר מהצורה 000001001011..., השווה למספר המצומצם 1001011.)

נסו לשים לב לחוקיות:

[עריכה] טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

עשרוני:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
הקסדצימלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
בינארי:	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000