סכום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בפעולת חשבון. לערך העוסק בכלי אוכל, ראו סכו"ם.

סיכום הוא התהליך של חיבור קבוצה של מספרים, והתוצאה של תהליך זה היא הסכום של מספרים אלה. ה"מספרים" המסוכמים עשויים להיות מספרים טבעיים, מספרים ממשיים, מספרים מרוכבים, וגם עצמים מורכבים יותר כגון מטריצות. בנוסף לסכום של מספר סופי של מספרים, עוסקת המתמטיקה גם בסכום של טור אינסופי של מספרים, שבתנאים מסוימים הוא מספר סופי.

[עריכה] סימון

הסכום של שלושת המספרים 1, 2, 4 מסומן בצורה 1 + 2 + 4 = 7. פעולת החיבור היא פעולה אסוציאטיבית, ולכן לא חשוב אם הביטוי "1 + 2 + 4" יתפרש כ- "(1 + 2) + 4" או כ- "1 + (2 + 4)" - התוצאה זהה בשני המקרים, ולכן נהוג להשמיט את הסוגריים. סיכום של מספר סופי של מספרים הוא קומוטטיבי, ולכן אין חשיבות לסדר שבו נכתבים המספרים המשתתפים בסיכום (המצב שונה לעתים בסיכום של טור אינסופי של מספרים).

כאשר הסכום כולל מספרים רבים מכדי שנפרט את כולם, ניתן להשמיט חלק מהם ולהחליפם בסימן ..., בהנחה שהקורא יבין את העיקרון של הסכום, כך שיהיה לו ברור מהם המספרים שהושמטו. בהתאם לכך, את סכום כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד 100 נכתוב בצורה:

1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.

לכתיב מקוצר של סכומים משמשת האות היוונית Σ (סיגמא גדולה). הגדרתו של סימון מתמטי זה היא

$\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n$

קרי:סיגמא של איקס איי, כאשר איי הולך מ-m ועד n. בהגדרה זו, i הוא האינדקס של הסיכום, m הוא הקצה התחתון של הסיכום, n הוא הקצה העליון של הסיכום. לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי לאונרד אוילר, במאה ה-18.

האותיות המשמשות לסימון האינדקס וקצותיו נתונות לבחירת הכותב, אם כי נהוג להשתמש באותיות קטנות מאמצעו של האלפבית הלטיני, למשל:

$\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90$

יש הכללות שונות של סימון זה, למשל:

$\sum_{0\le k< 100} f(k)$

הוא הסכום של ערכי הפונקציה f לכל k שלם בטווח המצוין.

$\sum_{x\in S} f(x)$

הוא הסכום של ערכי (f(x לכל האיברים x של הקבוצה S.

$\sum_{d|n}\;\mu(d)$

הוא הסכום של (μ(d לכל המספרים הטבעיים d שמחלקים את n.

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך: $\ \sum_{k=1}^\infty a_k$ (הסמל $\infty$ קרוי אינסוף). גם בטור שכזה ניתן לדבר על הסכום של כל האיברים, אך לא תמיד (ראו הרחבה בערך טור אינסופי). בניגוד לטור סופי, שבו ניתן לפרט את כל איבריו (אם כי הדבר אינו נוח כאשר יש איברים רבים), בטור אינסופי תיאור הטור בנוסחה, כפי שמאפשר סימון ה-Σ, חיוני.

[עריכה] מימוש בתוכנית מחשב

סכום של טור סופי ניתן למימוש פשוט בתוכנית מחשב תוך שימוש בלולאה. את הביטוי $\sum_{i=m}^{n} x_{i}$ מממש קטע JavaScript הבא, המזכיר בצורתו את הכתיב המתמטי:

 sum = 0;
 for (i = m; i <= n; i++){
     sum += x[i];}

בפסקל הניסוח קרוב יותר לשפה טבעית:

 Sum := 0;
 for i := m to n do
     Sum := Sum + x[i];

וב-Visual Basic

 Sum = 0
 For I = M To N
     Sum = Sum + X(I)
 Next I

וב-C#:

 Sum = 0;
 for (int i=M; i <= N ; i++)
     Sum = Sum + x[i];

מציאת סכום של טור אינסופי מצריכה הוכחה לקיומו ולערכו, אך כאשר קיימת הוכחה לקיומו מבלי שתהיה דרך לחשב את ערכו ישירות (כלומר שלא באמצעות חיבור איבריו בזה אחר זה), ניתן להשתמש בתוכנית מחשב שתממש טכניקות של חישוב נומרי כדי להתקרב לערכו של סכום הטור ככל שנרצה להתקרב.