לאונרד אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

לאונרד אוילר

לאונרד אוילר (15 באפריל 1707 - 18 בספטמבר 1783) (Leonhard Euler), אחד המתמטיקאים הפוריים בכל הזמנים. כמעט לא היה תחום במתמטיקה שאוילר לא הותיר עליו את חותמו. נאמר עליו כי "אוילר עורך חישובים מסובכים בקלות שבה אדם אחר נושם".

[עריכה] קורות חייו

אוילר, שוויצרי במקורו, נולד בבזל לאב כומר קלווינסטי (שגם עסק במתמטיקה). הבן התעתד ללכת בדרכי אביו, ופנה ללימודי תאולוגיה באוניברסיטת בזל. התערבותו של המתמטיקאי הנודע יוהן ברנולי, שהכיר את הנער המחונן, שיכנעה את האב לאפשר לבנו לפנות למתמטיקה. בן 26 היה הבחור הצעיר לפרופסור באקדמיה למדעים בסנקט פטרבורג. שם התחתן והוליד 13 ילדים, אך שבעה מהם מתו בגיל צעיר.

אוילר הסתבך עם משטרת הצאר (לאחר מכן תירץ את טבעו השתקני בכך ש"ברוסיה כל אמירה - סופה תלייה"), ועל כן עזב את רוסיה וב-1741 פנה לברלין. בתקופת שהותו שם, כדיקן בפקולטה למתמטיקה של אוניברסיטת ברלין, איבד את רכושו, כאשר קרב בין גייסות רוסים לגרמנים החריב את ביתו. אוילר, שהיה נערץ בשתי המדינות, פוצה על נזקיו. אינטריגות ועוינות מצד חצר המלך סילקו את אוילר מברלין והוא חזר אל סנקט פטרבורג, שהייתה נתונה אז תחת שלטונה הנאור יחסית של קתרינה הגדולה (1766). בשבע-עשרה שנותיו האחרונות איבד את מאור עיניו, אך לא חדל מלעסוק במתמטיקה. ב-1771 ניצל בנס משריפה, ו-12 שנה מאוחר יותר, ב-18 בספטמבר 1783, לקה בשבץ מוחי.

[עריכה] פועלו של אוילר

בנוסף למתמטיקה, עסק אוילר בפילוסופיה (אם כי לא עליה הייתה תפארתו), באופטיקה, בגאומטריה, באסטרונומיה ובמכניקה. תרומתו למתמטיקה כללה המצאה של סימנים שכיום הם נחלת הכלל. אלו הם: i, e (אוילר הוכיח שמספר זה אינו רציונלי), ועוד. גם הקבוע גמא קרוי "הקבוע של אוילר". אוילר הוא אבי הרעיון של חישוב מינימום ומקסימום של פונקציה. באחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין חשבון לוגריתמי לבין תורת המספרים המרוכבים. ב-1736 פתר את בעיית הגשרים של קניגסברג, ובכך הניח את היסודות לתורת הגרפים, ותרם לה תרומות חשובות ומפורסמות.

בעניין המספר e, למשל, הוא גילה כי המספר הוא תוצאה של סכום הטור:

$e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ...$

לגבי π גילה אוילר כי המספר שווה ל-:

$\arctan \left({1\over5} \right) - 4\arctan \left(\frac{1}{239 \cdot 16} \right)$

אוילר גילה את הפירוק של פונקציית זטא של רימן למכפלה (הקרויה "מכפלת אוילר"), והוכיח גם ש: $\zeta(2) \ = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

ואילו את arctan מחשבים כך:

$\arctan (x) = 1 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - ...$

בתורת המספרים, גילה והוכיח את משפט אוילר.

בתורת הפונקציות המרוכבות גילה אוילר את נוסחת אוילר, שמהווה כלי שימושי ביותר באנליזה המודרנית: $\!\, e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$

מקרה פרטי של נוסחה זו הינו הזהות המפורסמת אשר קושרת יחדיו קבועים מעולמות מתמטים שונים לכאורה: $\!\, e^{i \pi} + 1 = 0$ . הזהות נקראת על שמו, זהות אוילר.