פתית השלג של קוך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פתית השלג של קוך הוא פרקטל שהציג המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך.

[עריכה] תאור

פתית השלג של קוך הידוע גם כעקומת קוך או האי של קוך הוא עקומה פרקטלית שהוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך בשנת 1904. מקור השם הוא מדמיון העקומה לפתית שלג. פתית השלג של קוך מתקבל על ידי חזרה על שתי פעולות אינסוף פעמים:

חלוקת כל קו ישר לשלושה חלקים שווי אורך.
החלפת החלק האמצעי בכל אחד מהישרים בשני חלקים השווים באורכם לחלק שהוסר היוצרים משולש שווה צלעות עם החלק שהוסר.

אם הצורה הראשונית שנתחיל ממנה היא משולש שווה צלעות אז הצורה שתתקבל לאחר אינסוף איטרציות היא פתית השלג של קוך.

[עריכה] תכונות

בכל פעולה אנחנו מחליפים שליש מהקטע בשני חלקים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע. כלומר, אורך הקטע גדל בשליש מאורכו, הווה אומר, אורך הקטע נהיה 4/3 מאורכו המקורי בכל פעולה. לו הינו מבצעים $n$ פעולות אז אורך כל הקטע היה מגיע ל $\left( \frac{4}{3} \right)^n$ , הרי שאם נשאיף את מספר הפעולות לאינסוף נקבל שהיקף פתית השלג של קוך גם הוא שואף לאינסוף: $\lim_{n \to \infty}\left( \frac{4}{3} \right)^n=\infty$ . ראוי לשם לב שעל אף היקפו האינסופי, שטח פתית השלג של קוך סופי, והוא קטן משטח המעגל החוסם את המשולש ממנו החלה שרשרת האיטרציות.

תכונה נוספת נוגעת לממד האוסדורף של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שהממד האוסדורף של פתית השלג הוא: $\mbox{dim}(\mbox{KochSnowFlake}) = \frac{\log{4}}{\log{3}}\approx 1.262$ . לפתית השלג של קוך ממד שאינו שלם, תכונה אופיינית לפרקטל.